Resolva os problemas abaixo.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro
e abaixo da esfera
. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano
.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a massa de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas são positivas. Esse sólido está dentro de um cilindro dado por
e abaixo de uma esfera
. Além disso, a densidade da massa muda conforme a distância do ponto ao plano
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que facilitam a conta quando temos cilindros e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o cilindro
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular com raio 2, centrado no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a esfera
. Essa é uma esfera com raio 4 e centro na origem. Queremos a parte da esfera que está abaixo dela, ou seja, onde
.
Passo 4
Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas
,
e
são positivas. Então, nossas variáveis variam da seguinte maneira:
-
(raio) vai de 0 a 2 (raio do cilindro). -
(ângulo) vai de 0 a (para o primeiro octante). -
vai de 0 até (limite da esfera).
Passo 5
A densidade varia com a distância ao plano
, que no caso é simplesmente
(já que
representa a altura acima do plano). Então, a densidade pode ser expressa como
.
Passo 6
Vamos montar a integral tripla para calcular a massa:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado na integral:
Simplificando:
Passo 9
Vamos resolver a integral em
:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
A massa do sólido é
unidades de massa.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro , entre o parabolóide
e o plano
.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro
Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
a)
a)
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
b) e
.
b)
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
e) e
e)