Resolva os problemas abaixo.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro x^2 + y^2 = 4x e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a massa de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas são positivas. Esse sólido está dentro de um cilindro dado por e abaixo de uma esfera . Além disso, a densidade da massa muda conforme a distância do ponto ao plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que facilitam a conta quando temos cilindros e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o cilindro . Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular com raio 2, centrado no ponto .

Passo 3

Agora, vamos analisar a esfera . Essa é uma esfera com raio 4 e centro na origem. Queremos a parte da esfera que está abaixo dela, ou seja, onde .

Passo 4

Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas , e são positivas. Então, nossas variáveis variam da seguinte maneira:
  • (raio) vai de 0 a 2 (raio do cilindro).
  • (ângulo) vai de 0 a (para o primeiro octante).
  • vai de 0 até (limite da esfera).

Passo 5

A densidade varia com a distância ao plano , que no caso é simplesmente (já que representa a altura acima do plano). Então, a densidade pode ser expressa como .

Passo 6

Vamos montar a integral tripla para calcular a massa:
Substituindo :

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 8

Agora, substituímos o resultado na integral:
Simplificando:

Passo 9

Vamos resolver a integral em :

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

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