Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
b)
e
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar um sólido definido pelas condições
,
e
. Basicamente, estamos trabalhando com geometria espacial e precisamos encontrar o volume desse sólido. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites das variáveis. Sabemos que
e
, então estamos no primeiro octante. A desigualdade para
nos diz que
varia de 0 até
. Para encontrar a região no plano
, onde a parte de cima do sólido
é maior ou igual a zero, resolvemos:
Isso nos dá uma reta no plano
que limita a região onde vamos integrar.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como
e
, encontramos que
varia de 0 a 2 (quando
,
), e para cada
,
varia de 0 até
. Assim, nossos limites são:
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para calcular o volume
:
Aqui,
é a função que define a altura do sólido em cada ponto
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a
:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Calculando nos limites:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas abaixo.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro e abaixo da esfera
. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano
.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro
Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro , entre o parabolóide
e o plano
.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
e) e
e)
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
d) e
.
d)