Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
b) x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 <= z <= -2 x - y + 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar um sólido definido pelas condições , e . Basicamente, estamos trabalhando com geometria espacial e precisamos encontrar o volume desse sólido. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites das variáveis. Sabemos que e , então estamos no primeiro octante. A desigualdade para nos diz que varia de 0 até . Para encontrar a região no plano , onde a parte de cima do sólido é maior ou igual a zero, resolvemos:
Isso nos dá uma reta no plano que limita a região onde vamos integrar.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como e , encontramos que varia de 0 a 2 (quando , ), e para cada , varia de 0 até . Assim, nossos limites são:

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para calcular o volume :
Aqui, é a função que define a altura do sólido em cada ponto .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a :
Calculando nos limites:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando nos limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Resolva os problemas abaixo.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro x^2 + y^2 = 4x e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano x y.
Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro x^2 + y^2 = 2a x, entre o parabolóide x^2 + y^2 = 2 a z e o plano x y.
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
e) 0 <= z <= 4 x e x^2 + y^2 <= 16
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
d) y^2 = 4 x e x^2 + y^2 = 5.