Calcule o volume do sólido , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido no primeiro octante. O sólido é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , , e . Para isso, vamos usar integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla, para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No primeiro octante, as coordenadas , e são todas maiores ou iguais a zero. O plano nos mostra que . Assim, varia de 0 a 2, e para cada valor de , varia de 0 a .

Passo 3

Agora, para cada ponto , o valor de varia de 0 até . Portanto, os limites de são de 0 a .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume :

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna, em relação a :
Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral é:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Avaliamo as integrais entre os limites de 0 a 2:
Substituindo :
Convertendo para denominadores comuns:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
b)
k) onde e .
Use a expansão em Série de Taylor de para concluir a fórmula de Euler:
Mostre que satisfaz o Critério de Leibniz.