Calcule o volume do sólido
, no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido
no primeiro octante. O sólido é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
,
e
. Para isso, vamos usar integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla, para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No primeiro octante, as coordenadas
,
e
são todas maiores ou iguais a zero. O plano
nos mostra que
. Assim,
varia de 0 a 2, e para cada valor de
,
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, para cada ponto
, o valor de
varia de 0 até
. Portanto, os limites de
são de 0 a
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume
:
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna, em relação a
:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral é:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Avaliamo as integrais entre os limites de 0 a 2:
Substituindo
:
Convertendo para denominadores comuns:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
b)
b)
k)
onde
e
.
Use a expansão em Série de Taylor de
para concluir a fórmula de Euler:
Mostre que
satisfaz o Critério de Leibniz.