Mostre que satisfaz o Critério de Leibniz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem é a série . Nosso objetivo é mostrar que essa série satisfaz o Critério de Leibniz.
O Critério de Leibniz é uma técnica usada para verificar se séries alternadas convergem. Ele basicamente diz que uma série converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. A sequência é decrescente.
  3. tende a zero quando tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a série que estamos analisando e verificar se ela atende a esses três pontos do critério.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
Aqui, é o coeficiente binomial generalizado, que pode ser calculado usando a fórmula:
Para , temos:
Notemos que, para ímpar, será negativo, e para par, será positivo. Isso mostra que a série é alternada.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os termos são positivos e decrescentes.
  1. Positividade: Como estamos tomando o valor absoluto, é sempre positivo.
  2. Decrescimento: Vamos analisar .
Calculando a razão entre e :
Após simplificar, veremos que essa razão é menor que 1 para , o que confirma que é uma sequência decrescente.

Passo 4

Por último, precisamos verificar se .
Sabemos que:
À medida que cresce, o denominador cresce muito mais rápido do que o numerador, que envolve o coeficiente binomial com fatoriais no denominador. Assim, o limite de tende a zero:

Resposta

Como a série é alternada, com termos positivos que são decrescentes e tendem a zero, ela satisfaz o Critério de Leibniz. Portanto, a série converge.

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Calcule .
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Calcule .