Beleza, vamos lá! O que a gente tem é a série . Nosso objetivo é mostrar que essa série satisfaz o Critério de Leibniz.
O Critério de Leibniz é uma técnica usada para verificar se séries alternadas convergem. Ele basicamente diz que uma série converge se:
Os termos são positivos.
A sequência é decrescente.
tende a zero quando tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a série que estamos analisando e verificar se ela atende a esses três pontos do critério.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
Aqui, é o coeficiente binomial generalizado, que pode ser calculado usando a fórmula:
Para , temos:
Notemos que, para ímpar, será negativo, e para par, será positivo. Isso mostra que a série é alternada.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os termos são positivos e decrescentes.
Positividade: Como estamos tomando o valor absoluto, é sempre positivo.
Decrescimento: Vamos analisar .
Calculando a razão entre e :
Após simplificar, veremos que essa razão é menor que 1 para , o que confirma que é uma sequência decrescente.
Passo 4
Por último, precisamos verificar se .
Sabemos que:
À medida que cresce, o denominador cresce muito mais rápido do que o numerador, que envolve o coeficiente binomial com fatoriais no denominador. Assim, o limite de tende a zero:
Resposta
Como a série é alternada, com termos positivos que são decrescentes e tendem a zero, ela satisfaz o Critério de Leibniz. Portanto, a série converge.