Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à E=10^-2.
b) integral0^1 / 2 arctan x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e integração de séries termo a termo. Para isso, vamos precisar expandir a função em uma série de potências, integrar cada termo dessa série e verificar se a série resultante converge pelo Critério de Leibniz. Depois, vamos estimar o valor da integral com um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expansão em série de potências da função arctan x = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^2n + 1 . A série de Maclaurin para é:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, queremos a série para arctan x^2 = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 (x^2)^2n + 1 = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^4n + 2 . Substituindo por na série acima, temos:

Passo 4

Vamos integrar a série termo a termo no intervalo de 0 a 1/2:
integral0^12 arctan x^2 , dx = integral0^12 sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^4n + 2 , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 integral0^12 x^4n + 2 , dx
Integrando integral x^4n + 2 , dx = x^4n + 34n + 3 + C :
integral0^12 x^4n + 2 , dx = (12)^4n + 34n + 3
Aplicando os limites de integração:
sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 cdot (12)^4n + 34n + 3 = sumn=0^infty (-1)^n(2n + 1)(4n + 3) (12)^4n + 3
Portanto, a integral se torna:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se essa série satisfaz o Critério de Leibniz para séries alternadas, que diz que se os termos em módulo forem decrescentes e tenderem a zero, a série converge.
Observando os termos:
an = 1(2n + 1)(4n + 3) (12)^4n + 3
Claramente, , diminui conforme aumenta, e . Portanto, a série satisfaz o Critério de Leibniz e converge.

Passo 6

Para estimar o valor da integral com erro inferior a a0 = 1(1)(3) (12)^3 = 13 cdot 18 = 124 approx 0,0417 , precisamos somar os termos da série até que o próximo termo da série seja menor que a1 = -1(3)(7) (12)^7 = -121 cdot 1128 = -12688 approx -0,00037 .
Vamos calcular os primeiros termos:
Para :
Para :
Observamos que o segundo termo já é menor que . Portanto, podemos parar na soma do primeiro termo para garantir que o erro seja menor que .

Resposta

A estimativa do valor da integral com erro inferior a é aproximadamente .

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