Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando séries de potências. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e integração de séries termo a termo. Para isso, vamos precisar expandir a função
em uma série de potências, integrar cada termo dessa série e verificar se a série resultante converge pelo Critério de Leibniz. Depois, vamos estimar o valor da integral com um erro menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expansão em série de potências da função
. A série de Maclaurin para
é:
Essa série é válida para
.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Substituindo
por
na série acima, temos:
Passo 4
Vamos integrar a série termo a termo no intervalo de 0 a 1/2:
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se essa série satisfaz o Critério de Leibniz para séries alternadas, que diz que se os termos em módulo forem decrescentes e tenderem a zero, a série converge.
Observando os termos:
Claramente,
,
diminui conforme
aumenta, e
. Portanto, a série satisfaz o Critério de Leibniz e converge.
Passo 6
Para estimar o valor da integral com erro inferior a
, precisamos somar os termos da série até que o próximo termo da série seja menor que
.
Vamos calcular os primeiros termos:
Para
:
Para
:
Observamos que o segundo termo já é menor que
. Portanto, podemos parar na soma do primeiro termo para garantir que o erro seja menor que
.
Resposta
A estimativa do valor da integral
com erro inferior a
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
k)
onde
e
.
f)
onde
e
.
Calcule o volume do sólido
, no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
Use a expansão em Série de Taylor de
para concluir a fórmula de Euler: