Use a expansão em Série de Taylor de f(y) = e^y para concluir a fórmula de Euler:
e^(i x) = cos(x) + i * sen(x) onde i = raiz(-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que liga a exponencial complexa com funções trigonométricas, conhecida como Fórmula de Euler:
Para chegar até ela, vamos usar a expansão em Série de Taylor da função . Basicamente, vamos expandir e^y em uma série infinita de potências e depois adaptar isso para números complexos.

Passo 2

Primeiro, lembra como é a Série de Taylor da função exponencial e^y em torno de y = 0? É assim:
Ou seja, a exponencial pode ser escrita como a soma de todas as potências de y divididas pelo fatorial de n.

Passo 3

Agora, vamos substituir y por um número imaginário, , onde . Então, temos:

Passo 4

Vamos calcular alguns termos para identificar um padrão. Lembrando que , , , e assim por diante.
Então, substituindo esses valores:

Passo 5

Agora, vamos separar os termos reais dos termos imaginários:
Termos Reais:
Termos Imaginários:
Isso acontece porque as séries para cos(x) e sen x são exatamente essas:

Resposta

Portanto, ao juntar os termos reais e imaginários, chegamos à Fórmula de Euler:

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