Use a expansão em Série de Taylor de
para concluir a fórmula de Euler:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que liga a exponencial complexa com funções trigonométricas, conhecida como Fórmula de Euler:
Para chegar até ela, vamos usar a expansão em Série de Taylor da função
. Basicamente, vamos expandir
em uma série infinita de potências e depois adaptar isso para números complexos.
Passo 2
Primeiro, lembra como é a Série de Taylor da função exponencial
em torno de
? É assim:
Ou seja, a exponencial pode ser escrita como a soma de todas as potências de
divididas pelo fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por um número imaginário,
, onde
. Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular alguns termos para identificar um padrão. Lembrando que
,
,
, e assim por diante.
-
-
-
-
-
- …
Então, substituindo esses valores:
Passo 5
Agora, vamos separar os termos reais dos termos imaginários:
Termos Reais:
Termos Imaginários:
Isso acontece porque as séries para
e
são exatamente essas:
Resposta
Portanto, ao juntar os termos reais e imaginários, chegamos à Fórmula de Euler: