Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica.
: pontos internos ao cilindro
com
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular o volume de um sólido definido pelos pontos internos a um cilindro dado por
e com a altura
variando entre
e
. Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação do cilindro:
. Para facilitar, podemos completar o quadrado em relação ao
:
Isso mostra que temos um cilindro de raio
centrado no ponto
no plano
.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para calcular o volume. Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
é a distância ao eixo
,
é o ângulo, e
é a altura.
A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas fica:
Mas para simplificar, notamos que o cilindro tem simetria circular, ent��o podemos integrar em torno de
de
a
e
de
a
.
Passo 4
A altura
varia de
a
. Em coordenadas cilíndricas,
. Porém, para facilitar, vamos considerar que
varia de
a
.
Mas para simplificar ainda mais, podemos observar que a altura máxima é determinada por
, então ajustaremos nossos limites de acordo.
Passo 5
Montamos a integral tripla para o volume
:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Resolvemos a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Mas lembrando que
, substituímos:
Passo 7
Expandimos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos em
:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Calcule o volume dos sólidos dados.
Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.