Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica. S : pontos internos ao cilindro x^2 + y^2 = 3y com 0 <= z <= y.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular o volume de um sólido definido pelos pontos internos a um cilindro dado por e com a altura variando entre e . Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais para encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação do cilindro: . Para facilitar, podemos completar o quadrado em relação ao :
Isso mostra que temos um cilindro de raio centrado no ponto no plano .

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para calcular o volume. Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde é a distância ao eixo , é o ângulo, e é a altura.
A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas fica:
Mas para simplificar, notamos que o cilindro tem simetria circular, ent��o podemos integrar em torno de de a e de a .

Passo 4

A altura varia de a . Em coordenadas cilíndricas, . Porém, para facilitar, vamos considerar que varia de a .
Mas para simplificar ainda mais, podemos observar que a altura máxima é determinada por , então ajustaremos nossos limites de acordo.

Passo 5

Montamos a integral tripla para o volume :
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Resolvemos a integral interna em :
Então, a integral fica:
Mas lembrando que , substituímos:

Passo 7

Expandimos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos em :
Então, a integral se torna:

Passo 8

Agora, integramos em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Suponha f(x, y) contínua em R^2. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
integral0^1[integral1^e^y f(x, y) d x] d y+integral1^e[integraly^e f(x, y) d x] d y
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Calcule o volume dos sólidos dados. S = {(x, y, z): 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= 2 e^(x+y)}
Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = arctg(x + raiz(y))
Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = x * y