Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Passo 1
Beleza, bora lá! O enunciado pede pra gente inverter a ordem das integrações de duas integrais duplas e depois calcular a área da região de integração. Isso entra no conteúdo de cálculo integral, especificamente integração iterada e troca de ordem de integração. Vamos precisar entender como as regiões estão definidas para ajustar os limites das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
Aqui, y varia de 0 a 1, e para cada y, x varia de 1 até
. Então, a região dessa parte está entre y = 0 e y = 1, e x entre 1 e
.
Passo 3
Agora, a segunda integral:
Nessa parte, y varia de 1 a e, e x varia de y até e. Então, a região aqui está entre y = 1 e y = e, e x entre y e e.
Passo 4
Vamos juntar essas duas regiões em um único gráfico. Primeiro, desenhamos os limites:
- Para a primeira integral: 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ x ≤
. - Para a segunda integral: 1 ≤ y ≤ e e y ≤ x ≤ e.
Isso forma uma região contínua no plano xy, onde a linha x =
se encontra com a linha x = y em y = 1.
Passo 5
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar y em função de x. Observando a região:
- x varia de 1 a e.
- Para cada x, y varia de 0 até
quando 1 ≤ x ≤ e.
Então, a integral combinada fica:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a área da região de integração. Como estamos somando duas integrais, a área total é a soma das áreas das duas partes:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Somando as duas partes:
Resposta
A soma das integrais pode ser escrita como:
E a área da região de integração é:
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: pontos internos ao cilindro
com
.
Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.