Suponha f(x, y) contínua em R^2. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
integral0^1[integral1^e^y f(x, y) d x] d y+integral1^e[integraly^e f(x, y) d x] d y
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.

Passo 1

Beleza, bora lá! O enunciado pede pra gente inverter a ordem das integrações de duas integrais duplas e depois calcular a área da região de integração. Isso entra no conteúdo de cálculo integral, especificamente integração iterada e troca de ordem de integração. Vamos precisar entender como as regiões estão definidas para ajustar os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
integral0^1[integral1^e^y f(x, y) ,dx] dy
Aqui, y varia de 0 a 1, e para cada y, x varia de 1 até . Então, a região dessa parte está entre y = 0 e y = 1, e x entre 1 e .

Passo 3

Agora, a segunda integral:
integral1^e[integraly^e f(x, y) ,dx] dy
Nessa parte, y varia de 1 a e, e x varia de y até e. Então, a região aqui está entre y = 1 e y = e, e x entre y e e.

Passo 4

Vamos juntar essas duas regiões em um único gráfico. Primeiro, desenhamos os limites:
  • Para a primeira integral: 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ x ≤ .
  • Para a segunda integral: 1 ≤ y ≤ e e y ≤ x ≤ e.
Isso forma uma região contínua no plano xy, onde a linha x = se encontra com a linha x = y em y = 1.

Passo 5

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar y em função de x. Observando a região:
  • x varia de 1 a e.
  • Para cada x, y varia de 0 até integral1^e [integral0^ln x f(x, y) ,dy ] dx quando 1 ≤ x ≤ e.
Então, a integral combinada fica:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a área da região de integração. Como estamos somando duas integrais, a área total é a soma das áreas das duas partes:
  1. Primeira parte:
integral0^1 integral1^e^y dx ,dy = integral0^1 (e^y - 1) dy = [e^y - y]0^1 = e - 1
  1. Segunda parte:
integral1^e integraly^e dx ,dy = integral1^e (e - y) dy = [e y - y^22]1^e = e^2 - e^22 - (e - 12) = e^22 - e + 12
Somando as duas partes:
(e - 1) + (e^22 - e + 12) = e^22 - 12

Resposta

A soma das integrais pode ser escrita como:
integral1^e [integral0^ln x f(x, y) ,dy ] dx
E a área da região de integração é:
e^22 - 12

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