Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = x * y

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função . Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e ferramentas gráficas como o GeoGebra para representar o gráfico.

Passo 2

Domínio da função
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. No caso de , não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, a função está definida para todos os números reais x e y.

Passo 3

Imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que f(x, y) pode assumir. Como , para qualquer número real z, podemos escolher e , de modo que . Assim, a imagem é todos os números reais.

Passo 4

Curvas de nível
As curvas de nível são as curvas no plano (x, y) onde a função assume um valor constante k. Para , temos que , o que representa uma hipérbole para , e as linhas x = 0 ou y = 0 para k = 0.

Passo 5

Gráfico da função
O gráfico de é uma superfície hiperbólica em três dimensões. Podemos usar o GeoGebra para visualizar essa superfície, onde cada ponto (x, y, z) satisfaz .

Resposta

  • Domínio: (todos os reais x e y).
  • Imagem: (todos os números reais).
  • Curvas de nível: Para cada k pertence aos reais, a curva de nível é .
  • Gráfico: Superfície hiperbólica definida por , representada no GeoGebra.

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