Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e ferramentas gráficas como o GeoGebra para representar o gráfico.
Passo 2
Domínio da função
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso de
, não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, a função está definida para todos os números reais
e
.
Passo 3
Imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como
, para qualquer número real
, podemos escolher
e
, de modo que
. Assim, a imagem é todos os números reais.
Passo 4
Curvas de nível
As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante
. Para
, temos que
, o que representa uma hipérbole para
, e as linhas
ou
para
.
Passo 5
Gráfico da função
O gráfico de
é uma superfície hiperbólica em três dimensões. Podemos usar o GeoGebra para visualizar essa superfície, onde cada ponto
satisfaz
.
Resposta
- Domínio:
(todos os reais e ). - Imagem:
(todos os números reais). - Curvas de nível: Para cada
, a curva de nível é . - Gráfico: Superfície hiperbólica definida por
, representada no GeoGebra.
Exercícios relacionados
Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica.
: pontos internos ao cilindro
com
.
Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no
Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no