Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se for o caso) e o gráfico da função
. Vamos precisar entender alguns conceitos de funções de duas variáveis, como domínio e imagem, além de saber o que são curvas de nível. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida.
A função dada é
. O arco-tangente (
) está definido para todos os números reais, ou seja, não há restrições para o argumento dele. Mas temos que verificar o que está dentro da função.
Dentro do
, temos
. A raiz quadrada (
) só está definida para
, porque não podemos tirar raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais.
Então, a única restrição para a função estar definida é que
deve ser maior ou igual a zero.
Portanto, o domínio da função
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir quando
varia dentro do domínio.
Sabemos que
para todo
varia entre
e
. Ou seja:
No nosso caso,
. Como
pode assumir qualquer valor real (porque
pode ser qualquer número real e
), então
vai variar dentro desse intervalo.
Portanto, a imagem da função
é:
Passo 4
Vamos agora determinar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
é constante, ou seja,
, onde
é uma constante.
Para nossa função:
Para resolver isso, vamos isolar
:
Agora, vamos isolar
:
Isso representa uma família de curvas para diferentes valores de
, onde cada curva é uma função linear de
. Gráficamente, cada curva de nível será uma linha que desce conforme
aumenta, com a inclinação determinada por
.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Embora não possamos usar o GeoGebra aqui, podemos descrever como ele seria.
Como
:
- O domínio é
, então estamos trabalhando apenas na metade superior do plano . - A função
varia suavemente entre e . - Conforme
aumenta, se aproxima de . - Conforme
diminui, se aproxima de .
O gráfico será uma superfície que se estende indefinidamente na direção de
, com elevação limitada entre
e
. As curvas de nível que desenhamos anteriormente serão linhas que mostram como a função varia ao longo do plano
.
Resposta
Determinado o domínio
, a imagem
, as curvas de nível são dadas por
para cada constante
, e o gráfico é uma superfície limitada verticalmente entre
e
, estendendo-se no plano
com
.
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: pontos internos ao cilindro
com
.
Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no