Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = arctg(x + raiz(y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se for o caso) e o gráfico da função . Vamos precisar entender alguns conceitos de funções de duas variáveis, como domínio e imagem, além de saber o que são curvas de nível. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida.
A função dada é . O arco-tangente ( ) está definido para todos os números reais, ou seja, não há restrições para o argumento dele. Mas temos que verificar o que está dentro da função.
Dentro do , temos . A raiz quadrada ( ) só está definida para , porque não podemos tirar raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais.
Então, a única restrição para a função estar definida é que deve ser maior ou igual a zero.
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir quando varia dentro do domínio.
Sabemos que para todo varia entre e . Ou seja:
No nosso caso, . Como pode assumir qualquer valor real (porque pode ser qualquer número real e ), então vai variar dentro desse intervalo.
Portanto, a imagem da função é:

Passo 4

Vamos agora determinar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função é constante, ou seja, , onde é uma constante.
Para nossa função:
Para resolver isso, vamos isolar :
Agora, vamos isolar :
Isso representa uma família de curvas para diferentes valores de , onde cada curva é uma função linear de . Gráficamente, cada curva de nível será uma linha que desce conforme aumenta, com a inclinação determinada por .

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Embora não possamos usar o GeoGebra aqui, podemos descrever como ele seria.
Como :
  • O domínio é , então estamos trabalhando apenas na metade superior do plano .
  • A função varia suavemente entre e .
  • Conforme aumenta, se aproxima de .
  • Conforme diminui, se aproxima de .
O gráfico será uma superfície que se estende indefinidamente na direção de , com elevação limitada entre e . As curvas de nível que desenhamos anteriormente serão linhas que mostram como a função varia ao longo do plano .

Resposta

Determinado o domínio , a imagem , as curvas de nível são dadas por para cada constante , e o gráfico é uma superfície limitada verticalmente entre e , estendendo-se no plano com .

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