Calcule o volume dos sólidos dados.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido definido por
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que são usadas para calcular volumes de sólidos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. As variáveis
e
variam de 0 a 1. Para cada par
, a variável
varia de 1 até
. Isso define uma região no espaço onde calcularemos o volume.
Passo 3
A fórmula para calcular o volume
desse sólido é dada por uma integral tripla:
Isso significa que vamos integrar a função constante 1 sobre o intervalo definido por
, depois sobre
, e finalmente sobre
.
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de 1 em relação a
de 1 a
é:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
. Primeiro, separamos a integral:
Calculando cada parte:
e
Então, temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
e
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Considere
definida na região
Calcule o volume do sólido compreendido entre o plano
e o gráfico de
, com
.
Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica.
: pontos internos ao cilindro
com
.