Calcule o volume dos sólidos dados. S = {(x, y, z): 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= 2 e^(x+y)}

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido definido por . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que são usadas para calcular volumes de sólidos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. As variáveis e variam de 0 a 1. Para cada par , a variável varia de 1 até . Isso define uma região no espaço onde calcularemos o volume.

Passo 3

A fórmula para calcular o volume desse sólido é dada por uma integral tripla:
Isso significa que vamos integrar a função constante 1 sobre o intervalo definido por , depois sobre , e finalmente sobre .

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a . A integral de 1 em relação a de 1 a é:
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . Primeiro, separamos a integral:
Calculando cada parte:
e
Então, temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
e
Portanto:

Resposta

O volume do sólido é .

Exercícios relacionados