2,0 Calcule o volume dos sólidos B descritos abaixo: B é limitado pelo parabolóide z = x^2 + y^2 e pelo cilindro x^2 + y^2 = 2 x que está acima
x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1 (x - 1)^2 + y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume do sólido que é limitado pelo parabolóide e pelo cilindro . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Primeiro, precisamos entender a região onde esses dois superfícies se encontram e como configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no cilindro . Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em no plano . Esse círculo será a projeção do cilindro na base do sólido.

Passo 3

Agora, vamos analisar o parabolóide . Esse é um parabolóide que se abre para cima a partir da origem. O sólido está limitado por esse parabolóide e pelo cilindro que definimos.

Passo 4

Para encontrar o volume entre o cilindro e o parabolóide, vamos usar coordenadas polares, já que a simetria circular facilita os cálculos. Em coordenadas polares, temos:
A equação do cilindro em coordenadas polares fica:
Então, ou . Portanto, os limites de vão de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A função que representa o parabolóide em coordenadas polares é:
Então, o volume é dado por:
Onde é a região circular definida pelos limites de e .

Passo 6

Determinar os limites de . Como é válido quando , deve ser não negativo. Isso acontece quando .

Passo 7

Agora, montamos a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
Sabemos que:
Então,

Passo 9

Resolvendo a integral:
Então, o volume fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados