Calcule o volume dos sólidos descritos abaixo: é limitado pelo parabolóide e pelo cilindro que está acima
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume do sólido que é limitado pelo parabolóide e pelo cilindro . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Primeiro, precisamos entender a região onde esses dois superfícies se encontram e como configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no cilindro . Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em no plano . Esse círculo será a projeção do cilindro na base do sólido.
Passo 3
Agora, vamos analisar o parabolóide . Esse é um parabolóide que se abre para cima a partir da origem. O sólido está limitado por esse parabolóide e pelo cilindro que definimos.
Passo 4
Para encontrar o volume entre o cilindro e o parabolóide, vamos usar coordenadas polares, já que a simetria circular facilita os cálculos. Em coordenadas polares, temos:
A equação do cilindro em coordenadas polares fica:
Então, ou . Portanto, os limites de vão de 0 a .
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A função que representa o parabolóide em coordenadas polares é:
Então, o volume é dado por:
Onde é a região circular definida pelos limites de e .
Passo 6
Determinar os limites de . Como é válido quando , deve ser não negativo. Isso acontece quando .
Passo 7
Agora, montamos a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :