Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da curva que um ponto móvel
descreve enquanto o parâmetro
varia de
a
. A gente vai precisar usar o que sabe sobre funções paramétricas e como transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, só em termos de
e
. Vamos resolver cada conjunto de equações separadamente para encontrar a equação cartesiana de cada curva.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro conjunto de equações:
A gente quer eliminar o parâmetro
para ter uma relação só entre
e
. Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Então, a gente pode resolver cada equação para
e e depois substituir na identidade.
Primeiro, isolando
e :
Agora, substituindo na identidade:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Essa é a equação de um círculo com raio 2 e centro na origem.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo conjunto de equações:
Seguindo o mesmo raciocínio, isolamos
e :
Substituindo na identidade trigonométrica:
Multiplicando tudo por 16 para simplificar:
Essa é a equação de um círculo com raio 4 e centro na origem.
Passo 4
Por último, temos a equação:
Essa equação indica que a curva está no plano
, ou seja, todo o movimento do ponto
ocorre nesse plano específico.
Resposta
As equações cartesianas das curvas são:
-
(um círculo de raio 2 no plano ) -
(um círculo de raio 4 no plano )