Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
x=2 cos(t) y=2 sen(t) x=4 cos(t) y=4 sen(t) z=2
0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da curva que um ponto móvel descreve enquanto o parâmetro varia de a . A gente vai precisar usar o que sabe sobre funções paramétricas e como transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, só em termos de e . Vamos resolver cada conjunto de equações separadamente para encontrar a equação cartesiana de cada curva.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro conjunto de equações:
A gente quer eliminar o parâmetro para ter uma relação só entre e . Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Então, a gente pode resolver cada equação para e e depois substituir na identidade.
Primeiro, isolando e :
Agora, substituindo na identidade:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Essa é a equação de um círculo com raio 2 e centro na origem.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo conjunto de equações:
Seguindo o mesmo raciocínio, isolamos e :
Substituindo na identidade trigonométrica:
Multiplicando tudo por 16 para simplificar:
Essa é a equação de um círculo com raio 4 e centro na origem.

Passo 4

Por último, temos a equação:
Essa equação indica que a curva está no plano , ou seja, todo o movimento do ponto ocorre nesse plano específico.

Resposta

As equações cartesianas das curvas são:
  1. (um círculo de raio 2 no plano )
  2. (um círculo de raio 4 no plano )

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