Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
x=2+4sen(t) y=3-2cos(t) x=t+1 y=t^2+4 z=2
y = 3 - 2 cos(t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos várias equações paramétricas que descrevem a posição de um ponto móvel em função de um parâmetro . Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em equações cartesianas, ou seja, relacionar e diretamente sem o parâmetro . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria e álgebra para eliminar o das equações.

Passo 2

Primeiro Conjunto de Equações:
Aqui, temos funções trigonométricas de . Para eliminar , vamos usar a identidade trigonométrica básica:
Primeiro, isolamos as funções trigonométricas:
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Esta é a equação de uma elipse no plano cartesiano.

Passo 3

Segundo Conjunto de Equações:
Aqui, temos uma função linear para e uma função quadrática para . Para eliminar , expressamos em termos de :
Substituímos esse valor na equação de :
Expandindo:
Esta é a equação de uma parábola no plano cartesiano.

Passo 4

Terceiro Conjunto de Equações:
Como esta equação envolve a coordenada e é constante, ela representa um plano paralelo ao plano cartesiano no espaço tridimensional. No entanto, como a questão pede a equação cartesiana da curva no plano , este conjunto não afeta e diretamente e pode ser considerado como fixo.

Passo 5

Quarto Conjunto de Equações:
Neste caso, apenas está em termos de , e não está definido. Isso significa que, para cada valor de no intervalo dado, assume valores entre e (já que varia entre -1 e 1). Sem uma equação para , a curva descrita é uma linha horizontal onde oscila entre esses valores, e pode assumir qualquer valor real.

Resposta

Para cada conjunto de equações paramétricas, as equações cartesianas são:
  1. Elipse:
  1. Parábola:
  1. Plano (no espaço tridimensional):
  1. Linha Horizontal com variando:

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