Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos várias equações paramétricas que descrevem a posição de um ponto móvel
em função de um parâmetro
. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em equações cartesianas, ou seja, relacionar
e
diretamente sem o parâmetro
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria e álgebra para eliminar o
das equações.
Passo 2
Primeiro Conjunto de Equações:
Aqui, temos funções trigonométricas de
. Para eliminar
, vamos usar a identidade trigonométrica básica:
Primeiro, isolamos as funções trigonométricas:
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Esta é a equação de uma elipse no plano cartesiano.
Passo 3
Segundo Conjunto de Equações:
Aqui, temos uma função linear para
e uma função quadrática para
. Para eliminar
, expressamos
em termos de
:
Substituímos esse valor na equação de
:
Expandindo:
Esta é a equação de uma parábola no plano cartesiano.
Passo 4
Terceiro Conjunto de Equações:
Como esta equação envolve a coordenada
e é constante, ela representa um plano paralelo ao plano cartesiano
no espaço tridimensional. No entanto, como a questão pede a equação cartesiana da curva no plano
, este conjunto não afeta
e
diretamente e pode ser considerado como fixo.
Passo 5
Quarto Conjunto de Equações:
Neste caso, apenas
está em termos de
, e
não está definido. Isso significa que, para cada valor de
no intervalo dado,
assume valores entre
e
(já que
varia entre -1 e 1). Sem uma equação para
, a curva descrita é uma linha horizontal onde
oscila entre esses valores, e
pode assumir qualquer valor real.
Resposta
Para cada conjunto de equações paramétricas, as equações cartesianas são:
- Elipse:
- Parábola:
- Plano (no espaço tridimensional):
- Linha Horizontal com
variando: