Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma aplicação
definida por:
O tema aqui é álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e como verificar se a aplicação
cumpre essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Então, para verificar se
é linear, vamos checar essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição. Seja
e
. Aplicando
na soma dessas duas vetores:
Fazendo a multiplicação:
Agora, vamos calcular
:
Vemos que
. Então, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Aplicando
no vetor
:
Aqui, vemos que
. A propriedade da homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas, concluímos que a aplicação
é linear.