Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma aplicação definida por:
O tema aqui é álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e como verificar se a aplicação cumpre essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Então, para verificar se é linear, vamos checar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição. Seja e . Aplicando na soma dessas duas vetores:
Fazendo a multiplicação:
Agora, vamos calcular :
Vemos que . Então, a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e . Aplicando no vetor :
Aqui, vemos que . A propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas, concluímos que a aplicação é linear.

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