Verifique quais das aplicações abaixo são lineares: T: R^2 M(2,1) ; T(x, y)=(cc1 & -1 2 & 3)binomxy

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma aplicação T(x, y) = 1 & -1 2 & 3 x y definida por:
O tema aqui é álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e como verificar se a aplicação cumpre essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Então, para verificar se é linear, vamos checar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = 1 & -1 2 & 3 x1 + x2 y1 + y2 e = 1(x1 + x2) - 1(y1 + y2) 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = (x1 - y1) + (x2 - y2) (2x1 + 3y1) + (2x2 + 3y2) . Aplicando T(u) + T(v) = 1x1 -1y1 2x1 +3y1 + 1x2 -1y2 2x2 +3y2 = (x1 - y1) + (x2 - y2) (2x1 + 3y1) + (2x2 + 3y2) na soma dessas duas vetores:
Fazendo a multiplicação:
Agora, vamos calcular :
Vemos que . Então, a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy) = 1 & -1 2 & 3 cx cy = 1(cx) -1(cy) 2(cx) +3(cy) = c x - y 2x + 3y = cT(u) um escalar e . Aplicando no vetor :
Aqui, vemos que . A propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas, concluímos que a aplicação é linear.

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