Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(j) integral cotg xsen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição de variável. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente em técnicas de integração usando substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral cot xsin^2 x dx = integral cos xsin xsin^2 x dx = integral cos xsin^3 x dx pode ser escrito como . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a substituição. Vamos definir dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo integral cos xsin^3 x dx = integral 1u^3 du e na integral, temos:

Passo 5

A integral integral u^-3 du é mais simples de resolver. Vamos reescrever como:
Para integrar , usamos a regra de integração de potências, que diz que , onde é a constante de integração, desde que .

Passo 6

Aplicando a regra de potências:
integral u^-3 du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C

Passo 7

Agora, substituímos -12u^2 + C = -12sin^2 x + C de volta na expressão:

Resposta

Portanto, a integral -12sin^2 x + C é:

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