Calcule o volume do tetraedro determinado pelos pontos e , onde são números reais não-nulos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um tetraedro definido por quatro pontos no espaço: , , e . Aqui, , e são números reais diferentes de zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de volumes no espaço tridimensional. Precisaremos entender como determinar o volume de um tetraedro a partir das coordenadas dos seus vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Os pontos , e estão localizados nos eixos , e respectivamente, e o ponto é a origem. Então, o tetraedro está formado por essas quatro pontas no espaço.
Passo 3
Para encontrar o volume desse tetraedro, podemos usar a fórmula do volume para um tetraedro definidos por quatro pontos no espaço. A fórmula é:
Aqui, , e são as coordenadas dos três vértices do tetraedro em relação à origem.
Passo 4
No nosso caso, os vértices em relação à origem V = 16 | a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c | são:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c = a times b times c = abc :
Isso porque todas as outras partes do determinante vão zerar devido aos zeros na matriz.
Passo 6
Finalmente, substituímos o valor do determinante na fórmula do volume:
V = 16 times |abc| = abc6
Como , e são números reais não-nulos, podemos considerar que é positivo, então não precisamos da barra de valor absoluto.