Calcule o volume do tetraedro determinado pelos pontos (a, 0,0),(0, b, 0),(0,0, c) e (0,0,0), onde a, b, c são números reais não-nulos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um tetraedro definido por quatro pontos no espaço: , , e . Aqui, , e são números reais diferentes de zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de volumes no espaço tridimensional. Precisaremos entender como determinar o volume de um tetraedro a partir das coordenadas dos seus vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Os pontos , e estão localizados nos eixos , e respectivamente, e o ponto é a origem. Então, o tetraedro está formado por essas quatro pontas no espaço.

Passo 3

Para encontrar o volume desse tetraedro, podemos usar a fórmula do volume para um tetraedro definidos por quatro pontos no espaço. A fórmula é:
V = 16 | x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 |
Aqui, , e são as coordenadas dos três vértices do tetraedro em relação à origem.

Passo 4

No nosso caso, os vértices em relação à origem V = 16 | a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c | são:
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c = a times b times c = abc :
Isso porque todas as outras partes do determinante vão zerar devido aos zeros na matriz.

Passo 6

Finalmente, substituímos o valor do determinante na fórmula do volume:
V = 16 times |abc| = abc6
Como , e são números reais não-nulos, podemos considerar que é positivo, então não precisamos da barra de valor absoluto.

Resposta

O volume do tetraedro é .

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