Determine soluções , caso existam, para os seguintes sistemas:
Interprete geometricamente as situações representadas em cada sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos l OP times (1,1,0) = 0 OP cdot (1,1,0) = 1 que satisfazem o seguinte sistema de equações:
Aqui, estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional. O primeiro item envolve o produto vetorial, e o segundo, o produto escalar. Vamos precisar entender o que cada uma dessas operações significa para resolver o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação do produto vetorial:
OP times (1,1,0) = 0
O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos. Se o produto vetorial é igual a zero, isso significa que os dois vetores são paralelos ou colineares. Portanto, deve ser um múltiplo do vetor .
Passo 3
Vamos expressar OP = lambda (1,1,0) como múltiplo de (x1, x2, x3) = (lambda, lambda, 0) :
Geometricamente, a primeira equação nos diz que o vetor é paralelo ao vetor , ou seja, está sobre a linha que passa pela origem na direção de . A segunda equação impõe que o produto escalar desses vetores seja 1, o que fixa em uma posição específica nessa linha. Portanto, é o ponto na linha determinada por que está a uma “projeção” de 1 em relação ao vetor .