Determine soluções P=(x1, x2, x3), caso existam, para os seguintes sistemas:
l O P times(1,1,0)=0 O P cdot(1,1,0)=1
Interprete geometricamente as situações representadas em cada sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos l OP times (1,1,0) = 0 OP cdot (1,1,0) = 1 que satisfazem o seguinte sistema de equações:
Aqui, estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional. O primeiro item envolve o produto vetorial, e o segundo, o produto escalar. Vamos precisar entender o que cada uma dessas operações significa para resolver o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação do produto vetorial:
OP times (1,1,0) = 0
O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos. Se o produto vetorial é igual a zero, isso significa que os dois vetores são paralelos ou colineares. Portanto, deve ser um múltiplo do vetor .

Passo 3

Vamos expressar OP = lambda (1,1,0) como múltiplo de (x1, x2, x3) = (lambda, lambda, 0) :
Onde é um escalar. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação do sistema:
OP cdot (1,1,0) = 1
O produto escalar de dois vetores é dado por:
OP cdot (1,1,0) = x1 cdot 1 + x2 cdot 1 + x3 cdot 0
Substituindo lambda cdot 1 + lambda cdot 1 + 0 cdot 0 = 2lambda = 1 :

Passo 5

Resolvendo para 2lambda = 1 lambda = 12 :
P = ( 12, 12, 0 )
Agora podemos encontrar as coordenadas de :

Resposta

A única solução para o sistema é o ponto .

Interpretação Geométrica

Geometricamente, a primeira equação nos diz que o vetor é paralelo ao vetor , ou seja, está sobre a linha que passa pela origem na direção de . A segunda equação impõe que o produto escalar desses vetores seja 1, o que fixa em uma posição específica nessa linha. Portanto, é o ponto na linha determinada por que está a uma “projeção” de 1 em relação ao vetor .

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