Determine equações paramétricas da reta contendo o ponto e paralela ao plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como encontrar um vetor diretor da reta que seja paralelo ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano pode ser descrito por sua equação geral , onde o vetor é o vetor normal ao plano. No nosso caso, a equação do plano é , então o vetor normal é .
Passo 3
Agora, queremos uma reta que seja paralela a esse plano. Isso significa que o vetor diretor da reta, que vamos chamar de , deve ser perpendicular ao vetor normal do plano . Para que dois vetores sejam perpendicularmente, o produto escalar entre eles deve ser zero: .
Passo 4
Vamos chamar o vetor diretor da reta de . Aplicando a condição de perpendicularidade:
Esse é uma equação que relaciona os componentes de . Precisamos encontrar valores para , e que satisfaçam essa equação.
Passo 5
Podemos escolher valores para dois dos componentes de e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher e . Substituindo na equação:
Então, um vetor diretor possível é .
Passo 6
Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta . As equações paramétricas de uma reta são dadas por: