Determine equações paramétricas da reta r contendo o ponto (3,2,1) e paralela ao plano 12 x1+x2+2 x3=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como encontrar um vetor diretor da reta que seja paralelo ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano pode ser descrito por sua equação geral , onde o vetor é o vetor normal ao plano. No nosso caso, a equação do plano é , então o vetor normal é .

Passo 3

Agora, queremos uma reta que seja paralela a esse plano. Isso significa que o vetor diretor da reta, que vamos chamar de , deve ser perpendicular ao vetor normal do plano . Para que dois vetores sejam perpendicularmente, o produto escalar entre eles deve ser zero: .

Passo 4

Vamos chamar o vetor diretor da reta de d cdot n = 12 d1 + d2 + 2 d3 = 0 . Aplicando a condição de perpendicularidade:
Esse é uma equação que relaciona os componentes de . Precisamos encontrar valores para , e que satisfaçam essa equação.

Passo 5

Podemos escolher valores para dois dos componentes de 12(2) + (-1) + 2 d3 = 0 1 - 1 + 2 d3 = 0 2 d3 = 0 d3 = 0 e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher e . Substituindo na equação:
Então, um vetor diretor possível é .

Passo 6

Com o ponto x = x0 + d1 t y = y0 + d2 t z = z0 + d3 t e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta . As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é o ponto inicial e é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 3 + 2t y = 2 - t z = 1 são:
Onde é um parâmetro real.

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