Determine a distância entre as arestas opostas e em um tetraedro em função das medidas dos segmentos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a distância entre as arestas opostas e num tetraedro . Vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente vetores e produto vetorial, para resolver isso. Para isso, vamos precisar das medidas dos segmentos , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distância entre duas arestas opostas em um tetraedro. A distância entre duas linhas no espaço é a menor distância possível entre qualquer ponto de uma linha e qualquer ponto da outra. No caso das arestas e , que são opostas e não se encontram, precisamos encontrar essa distância mínima.

Passo 3

Para calcular essa distância, vamos usar a fórmula que envolve vetores. Vamos representar as arestas e como vetores e também considerar o vetor que liga um ponto de uma aresta a um ponto da outra. Suponha que escolhemos os pontos e . Então, temos os vetores:
  • : vetor da aresta
  • : vetor da aresta
  • : vetor que vai de a

Passo 4

A fórmula para a distância entre as duas arestas é dada por:
Onde:
  • representa o produto vetorial entre dois vetores.
  • representa o produto escalar entre dois vetores.
  • representa o módulo (ou comprimento) do vetor.
Essa fórmula basicamente calcula o componente da distância na direção perpendicular às duas arestas, garantindo que seja a distância mínima entre elas.

Passo 5

Agora, vamos expressar tudo em termos das medidas fornecidas: , e . Sabemos que:
Substituindo esses valores na fórmula da distância, temos:
Como estamos trabalhando com magnitudes, podemos simplificar a expressão para obter a distância em termos dos comprimentos dados.

Resposta

A distância entre as arestas opostas e no tetraedro é dada por:

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