Determine soluções , caso existam, para os seguintes sistemas:
Interprete geometricamente as situações representadas em cada sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar os vetores que satisfazem o seguinte sistema:
Aqui, estamos lidando com vetores no espaço tridimensional e usando operações de produto cruzado e produto escalar. Vamos precisar lembrar como funcionam essas operações para resolver o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor como . Assim, temos:
Queremos encontrar os valores de e que satisfazem as duas equações do sistema.

Passo 3

Vamos começar com a primeira equação do sistema, que envolve o produto cruzado:
O produto cruzado entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso à nossa equação:
Simplificando cada componente:
  1. (confirmação)
Então, já sabemos que e .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação do sistema, que envolve o produto escalar:
O produto escalar entre e é dado por:
Aplicando isso à nossa equação:
Simplificando:
Mas já sabemos que , então podemos substituir:
E, consequentemente:

Passo 5

Agora, temos todos os componentes de :
Portanto, o vetor que satisfaz o sistema é:

Resposta

A solução para o sistema é . Geometricamente, isso significa que o ponto está localizado na interseção do plano definido pela equação do produto escalar e na linha perpendicular ao vetor determinada pelo produto cruzado.

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