Determine soluções P=(x1, x2, x3), caso existam, para os seguintes sistemas:
l O P times(1,1,0)=(-1,1,0) O P cdot(1,1,0)=1
Interprete geometricamente as situações representadas em cada sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar os vetores l O P times (1,1,0) = (-1,1,0) O P cdot (1,1,0) = 1 que satisfazem o seguinte sistema:
Aqui, estamos lidando com vetores no espaço tridimensional e usando operações de produto cruzado e produto escalar. Vamos precisar lembrar como funcionam essas operações para resolver o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor O P = (x1, x2, x3) como . Assim, temos:
Queremos encontrar os valores de e que satisfazem as duas equações do sistema.

Passo 3

Vamos começar com a primeira equação do sistema, que envolve o produto cruzado:
O P times (1,1,0) = (-1,1,0)
O produto cruzado entre dois vetores A times B = (a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1) e (x2 cdot 0 - x3 cdot 1, x3 cdot 1 - x1 cdot 0, x1 cdot 1 - x2 cdot 1) = (-1,1,0) é dado por:
Aplicando isso à nossa equação:
Simplificando cada componente:
  1. (confirmação)
Então, já sabemos que e .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação do sistema, que envolve o produto escalar:
O P cdot (1,1,0) = 1
O produto escalar entre A cdot B = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 e x1 cdot 1 + x2 cdot 1 + x3 cdot 0 = 1 é dado por:
x1 + x2 = 1
Aplicando isso à nossa equação:
x1 + x1 = 1 2x1 = 1 x1 = 12
Simplificando:
x2 = 12
Mas já sabemos que , então podemos substituir:
E, consequentemente:

Passo 5

Agora, temos todos os componentes de x1 = 12, x2 = 12, x3 = 1 :
P = ( 12, 12, 1 )
Portanto, o vetor que satisfaz o sistema é:

Resposta

A solução para o sistema é . Geometricamente, isso significa que o ponto está localizado na interseção do plano definido pela equação do produto escalar e na linha perpendicular ao vetor determinada pelo produto cruzado.

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