Calcule o volume do tetraedro square A B C D, se A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e D(-1,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do tetraedro usando as coordenadas dos pontos. Para isso, vamos usar geometria analítica, especificamente vetores e o determinante de uma matriz, que nos ajudam a encontrar o volume no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem do ponto AB = B - A = (0 - (-1), 1 - 3, -1 - 2) = (1, -2, -3) para os outros pontos AC = C - A = (-2 - (-1), 0 - 3, 1 - 2) = (-1, -3, -1) , AD = D - A = (-1 - (-1), 2 - 3, 0 - 2) = (0, -1, -2) e . Esses vetores são:

Passo 3

Agora, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:

[
AB & AC & AD = 1 & -1 & 0 -2 & -3 & -1 -3 & -1 & -2


]

Passo 4

Para encontrar o volume, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos dá uma medida do “espaço” que os vetores ocupam. Vamos calcular:
det = 1 cdot -3 & -1 -1 & -2 - (-1) cdot -2 & -1 -3 & -2 + 0 cdot -2 & -3 -3 & -1
Calculando os menores:
-3 & -1 -1 & -2 = (-3)(-2) - (-1)(-1) = 6 - 1 = 5
-2 & -1 -3 & -2 = (-2)(-2) - (-1)(-3) = 4 - 3 = 1
Então:
det = 1 cdot 5 - (-1) cdot 1 + 0 cdot (qualquer coisa) = 5 + 1 + 0 = 6

Passo 5

O volume do tetraedro é o módulo do determinante dividido por 6:
V = |det|6 = 66 = 1

Resposta

O volume do tetraedro é 1 unidade cúbica.

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