Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Álgebra Linear! A gente tem quatro vetores no espaço e um subespaço que é formado por todas as combinações linéares desses vetores. O que a gente precisa fazer é:
a) Encontrar uma base para que inclua o vetor .
b) Encontrar um vetor que não está em .
c) Verificar se, juntando essa base com o vetor que não está em , a gente consegue formar uma base para todo o .
Pra resolver isso, vamos precisar entender conceitos como combinação linear, independência linear e bases. Vamos por partes!
Passo 2
Parte a: Encontrar uma base para tal que .
Primeiro, a gente precisa identificar quais desses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros. Uma maneira de fazer isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada.
Vamos organizar os vetores:
Agora, montamos a matriz:
Vamos realizar operações para reduzir essa matriz e ver quais colunas permanecem como pivôs (ou seja, que correspondem a vetores independentes).
Após a redução, suponhamos que as colunas correspondentes a , , e sejam pivôs. Assim, esses vetores são linearmente independentes.
Porém, queremos que esteja na base, então mantemos , e ou substituímos conforme a independência.
Passo 3
Parte b: Encontrar um vetor tal que .
Para encontrar esse vetor, podemos escolher qualquer vetor em que não possa ser escrito como uma combinação linear de , , , e .
Uma maneira fácil é escolher um vetor que não seja uma combinação desses. Por exemplo, podemos tentar .
Para verificar se está em , tentamos encontrar escalares tais que:
Se não houver solução, então .
Passo 4
Parte c: O conjunto é uma base para ?
Para ser uma base de , precisamos de cinco vetores que sejam linearmente independentes e que span todo o espaço.
Já temos uma base para com, digamos, 4 vetores (incluindo ). Ao adicionar que não está em , estamos acrescentando um vetor que não pode ser escrito como combinação dos vetores em , aumentando a independência.
Se tiver dimensão 4, adicionar que não está em vai completar a base para .