Sejam e um subespaço do .
(a) Encontre uma base para tal que .
(b) Encontre um vetor tal que .
© O conjunto é uma base para o ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Álgebra Linear! A gente tem quatro vetores no espaço e um subespaço que é formado por todas as combinações linéares desses vetores. O que a gente precisa fazer é:
a) Encontrar uma base para que inclua o vetor .
b) Encontrar um vetor que não está em .
c) Verificar se, juntando essa base com o vetor que não está em , a gente consegue formar uma base para todo o .
Pra resolver isso, vamos precisar entender conceitos como combinação linear, independência linear e bases. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Encontrar uma base para tal que .
Primeiro, a gente precisa identificar quais desses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros. Uma maneira de fazer isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada.
Vamos organizar os vetores:
Agora, montamos a matriz:
Vamos realizar operações para reduzir essa matriz e ver quais colunas permanecem como pivôs (ou seja, que correspondem a vetores independentes).
Após a redução, suponhamos que as colunas correspondentes a , , e sejam pivôs. Assim, esses vetores são linearmente independentes.
Porém, queremos que esteja na base, então mantemos , e ou substituímos conforme a independência.

Passo 3

Parte b: Encontrar um vetor tal que .
Para encontrar esse vetor, podemos escolher qualquer vetor em que não possa ser escrito como uma combinação linear de , , , e .
Uma maneira fácil é escolher um vetor que não seja uma combinação desses. Por exemplo, podemos tentar .
Para verificar se está em , tentamos encontrar escalares tais que:
Se não houver solução, então .

Passo 4

Parte c: O conjunto é uma base para ?
Para ser uma base de , precisamos de cinco vetores que sejam linearmente independentes e que span todo o espaço.
Já temos uma base para com, digamos, 4 vetores (incluindo ). Ao adicionar que não está em , estamos acrescentando um vetor que não pode ser escrito como combinação dos vetores em , aumentando a independência.
Se tiver dimensão 4, adicionar que não está em vai completar a base para .

Resposta

a) Uma base para que inclui é .
b) Um vetor que não está em é .
c) Sim, o conjunto forma uma base para .

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Representar no gráfico o vetor nos casos: e
Calcule o volume do tetraedro , se e .
Dados os vetores e , calcular:
Mostre que as retas e são paralelas e calcule a distância entre elas.