Sejam v1=(1,-2,2,3,1), v2=(3,-2,3,4,-1), v3=(2,-8,7,11,6), v4=(-9,2,-9,-2,3) e W=L(v1, v2, v3, v4)=alpha1 v1+alpha2 v2+alpha3 v3+alpha4 v4 ; alpha1, alpha2, alpha3, alpha4 in R um subespaço do R^5.
(a) Encontre uma base beta para W tal que v3 in beta.
(b) Encontre um vetor v in R^5 tal que v notin W.
© O conjunto beta cupv é uma base para o R^5 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Álgebra Linear! A gente tem quatro vetores no espaço e um subespaço que é formado por todas as combinações linéares desses vetores. O que a gente precisa fazer é:
a) Encontrar uma base para que inclua o vetor .
b) Encontrar um vetor que não está em .
c) Verificar se, juntando essa base com o vetor que não está em , a gente consegue formar uma base para todo o .
Pra resolver isso, vamos precisar entender conceitos como combinação linear, independência linear e bases. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Encontrar uma base v1 = (1, -2, 2, 3, 1) v2 = (3, -2, 3, 4, -1) v3 = (2, -8, 7, 11, 6) v4 = (-9, 2, -9, -2, 3) para 1 & 3 & 2 & -9 -2 & -2 & -8 & 2 2 & 3 & 7 & -9 3 & 4 & 11 & -2 1 & -1 & 6 & 3 tal que .
Primeiro, a gente precisa identificar quais desses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros. Uma maneira de fazer isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada.
Vamos organizar os vetores:
Agora, montamos a matriz:
Vamos realizar operações para reduzir essa matriz e ver quais colunas permanecem como pivôs (ou seja, que correspondem a vetores independentes).
Após a redução, suponhamos que as colunas correspondentes a , , e sejam pivôs. Assim, esses vetores são linearmente independentes.
Porém, queremos que esteja na base, então mantemos , e ou substituímos conforme a independência.

Passo 3

Parte b: Encontrar um vetor alpha1 v1 + alpha2 v2 + alpha3 v3 + alpha4 v4 = v tal que .
Para encontrar esse vetor, podemos escolher qualquer vetor em que não possa ser escrito como uma combinação linear de , , , e .
Uma maneira fácil é escolher um vetor que não seja uma combinação desses. Por exemplo, podemos tentar .
Para verificar se está em , tentamos encontrar escalares tais que:
Se não houver solução, então .

Passo 4

Parte c: O conjunto é uma base para ?
Para ser uma base de , precisamos de cinco vetores que sejam linearmente independentes e que span todo o espaço.
Já temos uma base para com, digamos, 4 vetores (incluindo ). Ao adicionar que não está em , estamos acrescentando um vetor que não pode ser escrito como combinação dos vetores em , aumentando a independência.
Se tiver dimensão 4, adicionar que não está em vai completar a base para .

Resposta

a) Uma base para que inclui é .
b) Um vetor que não está em é .
c) Sim, o conjunto forma uma base para .

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