Calcule o volume do tetraedro de vértices A=(1,1,0), B=(1,0,1), C=(0,1,1) e D=(3,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume de um tetraedro que tem quatro vértices em pontos específicos no espaço tridimensional: , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e produto escalar que aprendemos em geometria analítica. Precisamos identificar os vetores que formam as arestas do tetraedro e aplicar a fórmula do volume usando essas operações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto como referência, vou escolher o ponto AB = B - A = (1-1, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1) . A partir daí, vamos calcular os vetores que ligam AC = C - A = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1) aos outros três pontos: AD = D - A = (3-1, 2-1, 1-0) = (2, 1, 1) , e .
  • Vetor : Subtraímos as coordenadas de de :
  • Vetor :
  • Vetor :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto vetorial entre os vetores AC times AD = i & j & k -1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 e AC times AD = i(0 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(-1 cdot 1 - 1 cdot 2) + k(-1 cdot 1 - 0 cdot 2) = (-1, 3, -1) . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor está relacionada à área do paralelogramo formado por e .
A fórmula do produto vetorial é:
Calculando:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre o vetor AB cdot (AC times AD) = (0, -1, 1) cdot (-1, 3, -1) = (0 times -1) + (-1 times 3) + (1 times -1) = 0 - 3 - 1 = -4 e o resultado do produto vetorial |AB cdot (AC times AD)| = 4 . O produto escalar nos dá uma medida que relaciona a direção dos dois vetores.
Como o volume não pode ser negativo, vamos considerar o valor absoluto:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do volume do tetraedro, que é dada por:
Volume = |AB cdot (AC times AD)|6
Substituindo o valor que encontramos:
Volume = 46 = 23

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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