Calcule o volume do tetraedro de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume de um tetraedro que tem quatro vértices em pontos específicos no espaço tridimensional: , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e produto escalar que aprendemos em geometria analítica. Precisamos identificar os vetores que formam as arestas do tetraedro e aplicar a fórmula do volume usando essas operações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto como referência, vou escolher o ponto . A partir daí, vamos calcular os vetores que ligam aos outros três pontos: , e .
  • Vetor : Subtraímos as coordenadas de de :
  • Vetor :
  • Vetor :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto vetorial entre os vetores e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor está relacionada à área do paralelogramo formado por e .
A fórmula do produto vetorial é:
Calculando:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre o vetor e o resultado do produto vetorial . O produto escalar nos dá uma medida que relaciona a direção dos dois vetores.
Como o volume não pode ser negativo, vamos considerar o valor absoluto:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do volume do tetraedro, que é dada por:
Substituindo o valor que encontramos:

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , determine em função de e as componentes dos vetores:
b)
Seja a matriz quadrada de ordem 3 em que as entradas so dadas por . Calcule .
Calcular:
f)
Encontre todos os valores de para os quais .