Encontre todos os valores de para os quais .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de que fazem com que o determinante da matriz seja igual a zero. Isso se relaciona com o conteúdo de álgebra linear, especificamente no cálculo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e resolver a equação resultante igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Se temos uma matriz:
O determinante de é dado por:

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa matriz :
Identificamos os elementos:

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do determinante:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo passo a passo:
  1. Calculando o primeiro parêntese:
  2. Calculando o segundo parêntese:
  3. O terceiro termo multiplica por zero, então podemos ignorar.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do determinante:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar pelos termos do polinômio:
Simplificando:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do determinante:
Simplificando:

Passo 9

Para encontrar os valores de que fazem , resolvemos a equação:
Podemos multiplicar toda a equação por para facilitar:

Passo 10

Agora, vamos resolver a equação cúbica . Procuramos por raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar fatores de 84:
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar :

Passo 11

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem são , e .

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Calcular:
f)
Calcule o volume do tetraedro de vértices e .
Considere os vetores e . Calcule:
d)
Nas partes (a)-(f), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) e forem bases de um espaço vetorial , então existe uma matriz de transição de para .
(b) Matrizes de transição são invertíveis.
© Se for uma base do espaço vetorial , então é a matriz identidade.
(d) Se for uma matriz diagonal, então cada vetor em é um múltiplo escalar de algum vetor em .
(e) Se cada vetor em for um múltiplo escalar de algum vetor em , então é uma matriz diagonal.
(f) for uma matriz quadrada, então , usando certas bases e de .