Encontre todos os valores de
para os quais
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de
lambda que fazem com que o determinante da matriz
A seja igual a zero. Isso se relaciona com o conteúdo de álgebra linear, especificamente no cálculo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e resolver a equação resultante igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Se temos uma matriz:
O determinante de
A é dado por:
Passo 3
Aplicando essa fórmula à nossa matriz
A :
Identificamos os elementos:
-
a = 4-lambda -
b = 1 -
c = 0 -
d = 2 -
e = 6-lambda -
f = 1 -
g = 0 -
h = 1 -
i = 4-lambda
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do determinante:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo passo a passo:
-
Calculando o primeiro parêntese:
(6-lambda)(4-lambda) - 1 = (24 - 6lambda - 4lambda + lambda^2) - 1 = lambda^2 - 10lambda + 23 -
Calculando o segundo parêntese:
(2)(4-lambda) - 0 = 8 - 2lambda -
O terceiro termo multiplica por zero, então podemos ignorar.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar
(4-lambda) pelos termos do polinômio:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Simplificando:
Passo 9
Para encontrar os valores de
lambda que fazem
det(A) = 0 , resolvemos a equação:
Podemos multiplicar toda a equação por
-1 para facilitar:
Passo 10
Agora, vamos resolver a equação cúbica
lambda^3 - 14lambda^2 + 61lambda - 84 = 0 . Procuramos por raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar fatores de 84:
Testando
lambda = 3 :
Então,
lambda = 3 é uma raiz. Agora, podemos fatorar
(lambda - 3) :
Passo 11
Agora, resolvemos a equação quadrática
lambda^2 - 11lambda + 28 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
-
lambda = 11 + 32 = 7 -
lambda = 11 - 32 = 4
Resposta
Os valores de
lambda que satisfazem
det(A) = 0 são
lambda = 3 ,
lambda = 4 e
lambda = 7 .