Encontre todos os valores de lambda para os quais det(A)=0.
A=[ccc4-lambda & 1 & 0 2 & 6-lambda & 1 0 & 1 & 4-lambda]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de lambda que fazem com que o determinante da matriz A seja igual a zero. Isso se relaciona com o conteúdo de álgebra linear, especificamente no cálculo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e resolver a equação resultante igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Se temos uma matriz:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante de A é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa matriz A:
A = 4-lambda & 1 & 0 2 & 6-lambda & 1 0 & 1 & 4-lambda
Identificamos os elementos:
  • a = 4-lambda
  • b = 1
  • c = 0
  • d = 2
  • e = 6-lambda
  • f = 1
  • g = 0
  • h = 1
  • i = 4-lambda

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = (4-lambda)[(6-lambda)(4-lambda) - (1)(1)] - 1[(2)(4-lambda) - (1)(0)] + 0[(2)(1) - (6-lambda)(0)]

Passo 5

Vamos simplificar cada termo passo a passo:
  1. Calculando o primeiro parêntese:
    (6-lambda)(4-lambda) - 1 = (24 - 6lambda - 4lambda + lambda^2) - 1 = lambda^2 - 10lambda + 23
  2. Calculando o segundo parêntese:
    (2)(4-lambda) - 0 = 8 - 2lambda
  3. O terceiro termo multiplica por zero, então podemos ignorar.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A) = (4-lambda)(lambda^2 - 10lambda + 23) - 1(8 - 2lambda)
Simplificando:
det(A) = (4-lambda)(lambda^2 - 10lambda + 23) - 8 + 2lambda

Passo 7

Agora, vamos multiplicar (4-lambda) pelos termos do polinômio:
(4-lambda)(lambda^2 - 10lambda + 23) = 4lambda^2 - 40lambda + 92 - lambda^3 + 10lambda^2 - 23lambda
Simplificando:
= -lambda^3 + 14lambda^2 - 63lambda + 92

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A) = -lambda^3 + 14lambda^2 - 63lambda + 92 - 8 + 2lambda
Simplificando:
det(A) = -lambda^3 + 14lambda^2 - 61lambda + 84

Passo 9

Para encontrar os valores de lambda que fazem det(A) = 0, resolvemos a equação:
-lambda^3 + 14lambda^2 - 61lambda + 84 = 0
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:
lambda^3 - 14lambda^2 + 61lambda - 84 = 0

Passo 10

Agora, vamos resolver a equação cúbica lambda^3 - 14lambda^2 + 61lambda - 84 = 0. Procuramos por raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar fatores de 84:
Testando lambda = 3:
3^3 - 14(3)^2 + 61(3) - 84 = 27 - 126 + 183 - 84 = 0
Então, lambda = 3 é uma raiz. Agora, podemos fatorar (lambda - 3):
lambda^3 - 14lambda^2 + 61lambda - 84 = (lambda - 3)(lambda^2 - 11lambda + 28)

Passo 11

Agora, resolvemos a equação quadrática lambda^2 - 11lambda + 28 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 11 pm raiz121 - 1122 = 11 pm raiz92 = 11 pm 32
Isso nos dá duas soluções:
  1. lambda = 11 + 32 = 7
  2. lambda = 11 - 32 = 4

Resposta

Os valores de lambda que satisfazem det(A) = 0 são lambda = 3, lambda = 4 e lambda = 7.

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