Calcule o volume do tronco de pirâmide limitado pelos planos coordenados e pelos planos e , no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um tronco de pirâmide que está limitado pelos planos coordenados (os planos , e ) e pelos planos e no primeiro octante. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica e Cálculo, especialmente lidando com integrais múltiplas para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são esses planos. O primeiro plano é , que é bem simples: é um plano horizontal paralelo ao plano e está a 2 unidades acima do mesmo. O segundo plano é , que podemos reescrever para facilitar:
Esse é um plano inclinado que corta os eixos , e quando :
Quando :
Quando :
Quando :
Então, no primeiro octante, esse plano intercepta os eixos em pontos específicos.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume entre esses dois planos dentro do primeiro octante, vamos usar integrais duplas. A ideia é integrar a diferença das funções dos dois planos sobre a região no plano onde a pirâmide está localizada.
A função superior é o plano e a função inferior é . Então, a altura do volume em cada ponto é a diferença entre esses dois planos.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Precisamos encontrar a região no plano onde ambas as condições e são satisfeitas.
Da equação , para :
E como estamos no primeiro octante:
Então, a região é definida por , , .
Passo 5
Vamos desenhar essa região . A equação é uma linha reta que intercepta o eixo em e o eixo em . Portanto, é a região acima dessa linha, no primeiro quadrante.
Para facilitar a integração, podemos resolver em termos de :
Para um dado , varia de até o infinito, mas como estamos limitados pelo plano , precisamos encontrar onde intercepta o plano .
Passo 6
Vamos encontrar a interseção dos planos e :
Substituindo na segunda equação:
Então, no plano , a equação que limita a região é . Isso nos dá os novos limites para e .
Passo 7
Agora, vamos ajustar os limites de integração:
varia de 0 a 6 (onde em )
Para cada , varia de até
A altura no volume é .
Passo 8
Vamos montar a integral dupla para o volume :
Passo 9
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 10
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Integrando:
Passo 11
Calculando os limites:
Primeiro, para :
Segundo, para :
Passo 12
A diferença entre os dois resultados é:
Simplificando:
Passo 13
Vamos expandir os termos:
Substituindo:
Simplificando:
Então, a integral em resulta em .
Passo 14
Agora, vamos integrar em relação a :
Resposta
O volume do tronco de pirâmide no primeiro octante é igual a unidades cúbicas.