Calcule o volume do tronco de pirâmide limitado pelos planos coordenados e pelos planos x+2 y- 3 z-6=0 e z=2, no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um tronco de pirâmide que está limitado pelos planos coordenados (os planos , e ) e pelos planos e no primeiro octante. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica e Cálculo, especialmente lidando com integrais múltiplas para encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são esses planos. O primeiro plano é x + 2y - 3z = 6 implies z = x + 2y - 63 , que é bem simples: é um plano horizontal paralelo ao plano e está a 2 unidades acima do mesmo. O segundo plano é , que podemos reescrever para facilitar:
Esse é um plano inclinado que corta os eixos , e quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Então, no primeiro octante, esse plano intercepta os eixos em pontos específicos.

Passo 3

Agora, para encontrar o volume entre esses dois planos dentro do primeiro octante, vamos usar integrais duplas. A ideia é integrar a diferença das funções dos dois planos sobre a região no plano onde a pirâmide está localizada.
A função superior é o plano e a função inferior é . Então, a altura do volume em cada ponto é a diferença entre esses dois planos.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Precisamos encontrar a região x + 2y - 63 >= 0 implies x + 2y >= 6 no plano x >= 0, y >= 0 onde ambas as condições e são satisfeitas.
Da equação , para :
E como estamos no primeiro octante:
Então, a região é definida por , , .

Passo 5

Vamos desenhar essa região . A equação é uma linha reta que intercepta o eixo em e o eixo em . Portanto, é a região acima dessa linha, no primeiro quadrante.
Para facilitar a integração, podemos resolver em termos de :
Para um dado , varia de até o infinito, mas como estamos limitados pelo plano , precisamos encontrar onde intercepta o plano .

Passo 6

Vamos encontrar a interseção dos planos x + 2y - 3(2) - 6 = 0 implies x + 2y - 6 - 6 = 0 implies x + 2y = 12 e :
Substituindo na segunda equação:
Então, no plano , a equação que limita a região é . Isso nos dá os novos limites para e .

Passo 7

Agora, vamos ajustar os limites de integração:
  • varia de 0 a 6 (onde em )
  • Para cada , varia de até
A altura no volume é .

Passo 8

Vamos montar a integral dupla para o volume V = integral0^6 integral6 - x2^12 - x2 (2 - x + 2y - 63) , dy , dx :

Passo 9

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2 - x + 2y - 63 = 6 - (x + 2y - 6)3 = 12 - x - 2y3
Então, a integral fica:
V = integral0^6 integral6 - x2^12 - x2 12 - x - 2y3 , dy , dx

Passo 10

Vamos resolver a integral em relação a integral6 - x2^12 - x2 12 - x - 2y3 , dy = 13 integral6 - x2^12 - x2 (12 - x - 2y) , dy primeiro:
13 [ (12 - x)y - y^2 ]6 - x2^12 - x2
Integrando:

Passo 11

Calculando os limites:
Primeiro, para (12 - x)(12 - x2) - (12 - x2)^2 = (12 - x)^22 - (12 - x)^24 = (12 - x)^24 :
(12 - x)(6 - x2) - (6 - x2)^2 = (12 - x)(6 - x)2 - (6 - x)^24
Segundo, para :

Passo 12

A diferença entre os dois resultados é:
(12 - x)^24 - [ (12 - x)(6 - x)2 - (6 - x)^24 ] = (12 - x)^24 - 2(12 - x)(6 - x)4 + (6 - x)^24
Simplificando:
(12 - x)^2 - 2(12 - x)(6 - x) + (6 - x)^24

Passo 13

Vamos expandir os termos:
(12 - x)^2 = 144 - 24x + x^2
2(12 - x)(6 - x) = 2(72 - 12x - 6x + x^2) = 2(72 - 18x + x^2) = 144 - 36x + 2x^2
(6 - x)^2 = 36 - 12x + x^2
Substituindo:
144 - 24x + x^2 - 144 + 36x - 2x^2 + 36 - 12x + x^24 = (144 - 144 + 36) + (-24x + 36x - 12x) + (x^2 - 2x^2 + x^2)4
Simplificando:
36 + 0x + 0x^24 = 364 = 9
Então, a integral em resulta em .

Passo 14

Agora, vamos integrar em relação a V = integral0^6 3 , dx = 3x g|0^6 = 3(6) - 3(0) = 18 :

Resposta

O volume do tronco de pirâmide no primeiro octante é igual a unidades cúbicas.

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