r r1:(x, y, z)=(1,0,0)+t(-1,2,0), t in R r2:(x, y, z)=(0,1,1)+s(1,0,1), s in R
(a) Mostre que estas retas são reversas.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede para mostrarmos que elas são retas reversas (ou seja, não são nem paralelas nem se interceptam). O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações paramétricas de retas e conceitos de geometria espacial. Vamos precisar verificar se as direções das retas são paralelas e se elas se cruzam em algum ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta r1:(x, y, z)=(1,0,0) + t(-1,2,0) tem a equação
r2:(x, y, z)=(0,1,1) + s(1,0,1)
Então, o vetor diretor de é .
Já a reta tem a equação
Portanto, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se as direções das retas são paralelas. Duas retas são paralelas se um vetor diretor é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número d1 = lambda d2 tal que:
Vamos comparar os componentes:
  • deveria ser 0
Aqui, temos um conflito porque não pode ser simultaneamente e . Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se interceptam em algum ponto. Para isso, vamos igualar as equações paramétricas das retas e tentar encontrar valores de 1 - t = s 0 + 2t = 1 0 = 1 + s e que satisfaçam o sistema:
Vamos resolver:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Verificando na segunda equação: que não é igual a 1.
Como não há valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente, as retas não se interceptam.

Resposta

As retas e são retas reversas, ou seja, não são nem paralelas nem se interceptam.

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