Seja T: R^3 longrightarrow R^2 uma transformação linear e B=v1, v2, v3 uma base do R^3, sendo v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0). Sabendo que T(v1)=(1,-2), T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2), determinar:
(a) T(x, y, z);
(b) T(2,3,-2).
Não consegui 😦

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você tem aqui. A gente está lidando com transformações lineares, que são funções que levam vetores de um espaço para outro de maneira que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. No seu caso, a transformação vai de para .
Você tem uma base de e sabe o que faz com cada um desses vetores da base. Precisamos usar essas informações para descobrir como age em qualquer vetor de e, depois, especificamente encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que qualquer vetor (x, y, z) = av1 + bv2 + cv3 em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja:
Onde , e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores das (x, y, z) = a(0, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(1, 1, 0) , (x, y, z) = (b + c, a + c, b) e :
Agora, somando as componentes:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para encontrar x = b + c y = a + c z = b , x = z + c y = a + c e y = a + (x - z) implies a = y - x + z :
Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo isso nas outras equações:
Da primeira equação, . Substituindo esse valor na segunda equação:

Passo 5

Agora que temos T(x, y, z) = T(av1 + bv2 + cv3) = aT(v1) + bT(v2) + cT(v3) , T(x, y, z) = a(1, -2) + b(3, 1) + c(0, 2) e em termos de , e , podemos aplicar a transformação :
Substituindo os valores de , e :

Passo 6

Substituindo T(x, y, z) = (y - x + z)(1, -2) + z(3, 1) + (x - z)(0, 2) , = ((y - x + z)cdot1, (y - x + z)cdot(-2)) + (3z, z) + ((x - z)cdot0, (x - z)cdot2) e = (y - x + z, -2y + 2x - 2z) + (3z, z) + (0, 2x - 2z) :
Vamos multiplicar cada escalar pelos vetores correspondentes:
Simplificando:

Passo 7

Agora, somamos todas as componentes:
Na primeira coordenada:
y - x + z + 3z + 0 = y - x + 4z
Na segunda coordenada:
-2y + 2x - 2z + z + 2x - 2z = -2y + 4x - 3z

Passo 8

Agora, vamos calcular T(2, 3, -2) = (3 - 2 + 4(-2), -2(3) + 4(2) - 3(-2)) usando a fórmula que encontramos:
3 - 2 + (-8) = -7
Calculando cada componente:
Primeira coordenada:
-6 + 8 + 6 = 8
Segunda coordenada:

Resposta

Logo, .

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