Seja uma transformação linear e uma base do , sendo , e . Sabendo que e , determinar:
(a) ;
(b) .
Não consegui 😦
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você tem aqui. A gente está lidando com transformações lineares, que são funções que levam vetores de um espaço para outro de maneira que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. No seu caso, a transformação vai de para .
Você tem uma base de e sabe o que faz com cada um desses vetores da base. Precisamos usar essas informações para descobrir como age em qualquer vetor de e, depois, especificamente encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja:
Onde , e são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos substituir os valores das , e :
Agora, somando as componentes:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações para encontrar , e :
Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo isso nas outras equações:
Da primeira equação, . Substituindo esse valor na segunda equação:
Passo 5
Agora que temos T(x, y, z) = T(av1 + bv2 + cv3) = aT(v1) + bT(v2) + cT(v3) , T(x, y, z) = a(1, -2) + b(3, 1) + c(0, 2) e em termos de , e , podemos aplicar a transformação :