Sejam os pontos e .
Ache uma equação cartesiana do plano ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . A tarefa é encontrar a equação cartesiana de um plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como determinar um plano a partir de três pontos. Vamos precisar entender vetores, produto vetorial e a forma geral da equação de um plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para definir um plano no espaço, geralmente usamos três pontos que não estão na mesma reta (ou seja, não são colineares). Vamos escolher três desses pontos, por exemplo, , e .
Passo 3
Agora, vamos formar dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
Passo 4
Com esses dois vetores e , podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
Vamos calcular o produto vetorial:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 4:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
-3(x - 1) -6(y - 2) + 2(z - 0) = 0
Escolhemos um dos pontos, por exemplo, , e substituímos na equação:
Passo 6
Vamos distribuir e simplificar a equação:
-3x + 3 -6y + 12 + 2z = 0
-3x -6y +2z +15 = 0
Para deixar a equação mais elegante, podemos multiplicar todos os termos por -1:
3x + 6y - 2z -15 = 0
Resposta
A equação cartesiana do plano 3x + 6y - 2z - 15 = 0 é: