(Reginaldo) Considere a seguinte equação diferencial: 1/x^3 + e^y/x + (e^y + 1/(x y)) y' = 0 (a) Mostre que a equação diferencial (1.29) não é exata e que mu(x) = x é um fator integrante da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte equação diferencial:
O que a gente precisa fazer é mostrar que essa equação não é exata e que multiplicando por , ela vira uma equação exata. Para isso, a gente vai precisar entender o que é uma equação exata e como aplicar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, uma equação diferencial na forma geral exata é:
E para ser exata, deve satisfazer a condição:
Então, vamos identificar M(x, y) e N(x, y) na nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
Como elas não são iguais, ou seja, , concluímos que a equação não é exata.

Passo 5

Agora, vamos encontrar um fator integrante mu(x) que, quando multiplicado na equação original, a torne exata. Foi sugerido que . Vamos multiplicar toda a equação por x:
Simplificando:

Passo 6

Agora, identificamos as novas funções e :
Vamos verificar se agora é exata, ou seja, se:
Calculando as derivadas:
Como as derivadas são iguais, a equação agora é exata com o fator integrante .

Resposta

Mostramos que a equação diferencial original não é exata e que, ao multiplicá-la por , ela se torna exata.

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