(Reginaldo) Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.29) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte equação diferencial:
O que a gente precisa fazer é mostrar que essa equação não é exata e que multiplicando por
, ela vira uma equação exata. Para isso, a gente vai precisar entender o que é uma equação exata e como aplicar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, uma equação diferencial na forma geral exata é:
E para ser exata, deve satisfazer a condição:
Então, vamos identificar
e
na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Como elas não são iguais, ou seja,
, concluímos que a equação não é exata.
Passo 5
Agora, vamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicado na equação original, a torne exata. Foi sugerido que
. Vamos multiplicar toda a equação por
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, identificamos as novas funções
e
:
Vamos verificar se agora é exata, ou seja, se:
Calculando as derivadas:
Como as derivadas são iguais, a equação agora é exata com o fator integrante
.
Resposta
Mostramos que a equação diferencial original não é exata e que, ao multiplicá-la por
, ela se torna exata.