Determine a posição do peso
no instante
.
No instante
a mola não estava deformada, neste instante o peso foi solto.
Lembre-se que:
e
Sabe-se que:
No instante
Lembre-se que:
Sabe-se que:
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar a posição do peso
no instante
segundo. Estamos lidando com um sistema massa-mola com amortecimento. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças envolvidas e usar as equações do movimento harmônico amortecido.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no sistema. Temos a força da mola
e a força de amortecimento
. Além disso, a gravidade exerce uma força
.
Passo 3
A segunda lei de Newton nos diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui, os sinais negativos indicam que as forças da mola e do amortecimento atuam na direção oposta ao movimento.
Passo 4
Substituindo as expressões das forças, temos:
Vamos reorganizar para obter uma equação diferencial homogênea:
Passo 5
Para simplificar, vamos encontrar a posição de equilíbrio
onde
e
:
Passo 6
Vamos definir uma nova variável
, que representa a variação em relação ao equilíbrio. A equação diferencial se torna:
Isso é uma equação de movimento harmônico amortecido.
Passo 7
Vamos encontrar a solução da equação característica associada:
Substituindo os valores:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 9
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral para
é:
Onde
e
são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 10
Voltando à variável original
:
Passo 11
Aplicando as condições iniciais:
- No instante
: - A velocidade inicial
:
Passo 12
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então,
.
Passo 13
Agora, substituindo
e
na solução:
Passo 14
Finalmente, calculando
:
Resposta
No instante
segundo, a posição do peso é aproximadamente
metros.
Exercícios relacionados
Se
Calcule
, para
e
é a curva dada por
.