Determine a posição do peso no instante .
No instante a mola não estava deformada, neste instante o peso foi solto.
Lembre-se que:
e
Sabe-se que:

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar a posição do peso no instante segundo. Estamos lidando com um sistema massa-mola com amortecimento. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças envolvidas e usar as equações do movimento harmônico amortecido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no sistema. Temos a força da mola e a força de amortecimento . Além disso, a gravidade exerce uma força .

Passo 3

A segunda lei de Newton nos diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui, os sinais negativos indicam que as forças da mola e do amortecimento atuam na direção oposta ao movimento.

Passo 4

Substituindo as expressões das forças, temos:
Vamos reorganizar para obter uma equação diferencial homogênea:

Passo 5

Para simplificar, vamos encontrar a posição de equilíbrio onde e :

Passo 6

Vamos definir uma nova variável , que representa a variação em relação ao equilíbrio. A equação diferencial se torna:
Isso é uma equação de movimento harmônico amortecido.

Passo 7

Vamos encontrar a solução da equação característica associada:
Substituindo os valores:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 9

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral para é:
Onde e são constantes que determinamos pelas condições iniciais.

Passo 10

Voltando à variável original :

Passo 11

Aplicando as condições iniciais:
  • No instante :
  • A velocidade inicial :

Passo 12

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então, .

Passo 13

Agora, substituindo e na solução:

Passo 14

Finalmente, calculando :

Resposta

No instante segundo, a posição do peso é aproximadamente metros.

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Determine a transformada inversa.
para:
Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais.
, sendo que:
Prove a seguinte propriedade da transformada unilateral:
Se , mostre que:
Calcule , para e é a curva dada por .