(2, 0) Prove a seguinte propriedade da transformada Z unilateral:
Se x[n] <-> X(z), mostre que: Z{n * x[n]} = -Z * dX(z)/dz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente prove uma propriedade da transformada Z unilateral. Basicamente, se a transformada Z de é , a gente precisa mostrar que a transformada de é igual a vezes a derivada de em relação a . Para isso, vamos revisar o que é a transformada Z e como manipular derivadas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição da transformada Z unilateral. Ela é dada por:
Ou seja, a transformada Z de uma sequência é a soma de multiplicada por , somando de até o infinito.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada Z de . Vamos escrever isso:

Passo 4

Para conectar isso com , vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

A derivada de em relação a é:
Substituindo isso na expressão da derivada de :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Isso é exatamente a transformação Z de :

Resposta

Assim, provamos que:

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