Prove a seguinte propriedade da transformada
unilateral:
Se
, mostre que:
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente prove uma propriedade da transformada Z unilateral. Basicamente, se a transformada Z de
é
, a gente precisa mostrar que a transformada de
é igual a
vezes a derivada de
em relação a
. Para isso, vamos revisar o que é a transformada Z e como manipular derivadas nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a definição da transformada Z unilateral. Ela é dada por:
Ou seja, a transformada Z de uma sequência
é a soma de
multiplicada por
, somando de
até o infinito.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada Z de
. Vamos escrever isso:
Passo 4
Para conectar isso com
, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
A derivada de
em relação a
é:
Substituindo isso na expressão da derivada de
:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Isso é exatamente a transformação Z de
:
Resposta
Assim, provamos que:
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No instante
Lembre-se que:
Sabe-se que:
Calcule
, para
e
é a curva dada por
.
Dado o campo vetorial
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função .
iii) Calcule o trabalho ao longo de uma curva que liga o ponto
até o ponto
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função
iii) Calcule o trabalho