Calcule o Wronskiano avaliado em t = 0 das soluções e^(-b t / (2 a)), t e^(-b t / (2 a)) da equação
a y'' + b y' + c y = 0, a, b, c pertencem a R, a diferente de 0
com raiz do polinômio característico repetida. Ou seja, calcule: W(e^(-b t/(2 a)), t e^(-b t/(2 a)))(0).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular o Wronskiano de duas soluções da equação diferencial na posição . As soluções dadas são e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calcular derivadas dessas funções.

Passo 2

Primeiro, o Wronskiano de duas funções e é determinado pela matriz das funções e suas derivadas:
Nosso objetivo é calcular esse determinante no ponto .

Passo 3

Vamos identificar nossas funções:
Precisamos das derivadas dessas funções.

Passo 4

Calculando a derivada de :
Calculando a derivada de usando a regra do produto:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas funções e suas derivadas em :

Passo 6

Agora, aplicamos esses valores no Wronskiano:

Resposta

O Wronskiano avaliado em é igual a 1.

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