Dê exemplos de funções linearmente dependentes em algúm intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar exemplos de funções que são linearmente dependentes em algum intervalo. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa funções serem linearmente dependentes e como identificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são funções linearmente dependentes. Duas ou mais funções são ditas ser linearmente dependentes em um intervalo se alguma delas pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, existe uma relação onde uma função é igual a uma constante vezes outra.
Passo 3
Vamos pensar em um exemplo simples com duas funções. Suponha que temos f(x) = x e g(x) = 2x. Queremos ver se elas são linearmente dependentes.
Passo 4
Para verificar a dependência linear, tentamos achar constantes c₁ e c₂, não ambas zero, tal que c₁f(x) + c₂g(x) = 0 para todo x no intervalo.
Passo 5
Substituindo as funções, temos:
c₁x + c₂(2x) = 0
Isso simplifica para:
(c₁ + 2c₂)x = 0
c₁x + c₂(2x) = 0
Isso simplifica para:
(c₁ + 2c₂)x = 0
Passo 6
Para que isso seja verdadeiro para todo x, devemos ter:
c₁ + 2c₂ = 0
c₁ + 2c₂ = 0
Passo 7
Podemos escolher, por exemplo, c₁ = 2 e c₂ = -1. Então:
2 + 2*(-1) = 0
Isso satisfaz a equação, então as funções f(x) = x e g(x) = 2x são linearmente dependentes.
2 + 2*(-1) = 0
Isso satisfaz a equação, então as funções f(x) = x e g(x) = 2x são linearmente dependentes.
Resposta
Um exemplo de funções linearmente dependentes em um intervalo é f(x) = x e g(x) = 2x.