Mostre que as funções y1(x) = x^(-1) e y2(x) = x^(1/2) formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial, 2 x^2 y'' + 3 x y' - y = 0. [ Deve verificar que satisfazem a e.d.o e que são L.I.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que as funções e são um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial . Isso significa que precisamos verificar duas coisas:
  1. Cada função satisfaz a equação diferencial.
  2. As funções são linearmente independentes.
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções, substituir na equação diferencial e então verificar a independência linear usando o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se satisfaz a equação diferencial.
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na equação:
Então, satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também satisfaz a equação diferencial.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, também satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora que as duas funções satisfazem a equação diferencial, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Para isso, calculamos o Wronskiano das funções.
O Wronskiano é dado por:
Substituindo as funções e suas derivadas:
Como o Wronskiano não é zero (a menos que , mas estamos considerando ), as funções são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, as funções e formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial .

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