Determine a solução geral da equação (1 - x^2) y'' - 2 x y' + 2 y = 0 sabendo que uma solução particular é y1(x) = x.
[ Resp: A segunda solução é y2(x) = 1 + x ln(|(x-1)/(x+1)|^(1/2)), logo como trata-se de uma e.d.o linear homogênea a solução geral é uma combinação linear de y1 e y2.]

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Nos informam que uma solução particular dessa equação é . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e o método de redução de ordem.

Passo 2

Como já conhecemos uma solução , podemos encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. Esse método nos permite encontrar uma segunda solução linearmente independente quando já temos uma solução conhecida.

Passo 3

O método de redução de ordem sugere que a segunda solução pode ser escrita como:
onde é o coeficiente de na equação diferencial padronizada.

Passo 4

Primeiro, vamos padronizar a equação diferencial dividindo toda a equação por :
Aqui, .

Passo 5

Agora, calculamos :
Podemos ignorar a constante de integração para simplificação.

Passo 6

Então, . Substituindo na fórmula da redução de ordem:

Passo 7

Simplificando a integral:

Passo 8

Portanto, a segunda solução é:
No entanto, para garantir a independência linear, ajustamos a constante e obtemos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde e são constantes arbitrárias.

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