Determine a solução geral da equação sabendo que uma solução particular é .
[ Resp: A segunda solução é , logo como trata-se de uma e.d.o linear homogênea a solução geral é uma combinação linear de y1 e y2.]
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Nos informam que uma solução particular dessa equação é . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e o método de redução de ordem.
Passo 2
Como já conhecemos uma solução , podemos encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. Esse método nos permite encontrar uma segunda solução linearmente independente quando já temos uma solução conhecida.
Passo 3
O método de redução de ordem sugere que a segunda solução pode ser escrita como:
onde é o coeficiente de na equação diferencial padronizada.
Passo 4
Primeiro, vamos padronizar a equação diferencial dividindo toda a equação por :
Aqui, .
Passo 5
Agora, calculamos :
Podemos ignorar a constante de integração para simplificação.
Passo 6
Então, . Substituindo na fórmula da redução de ordem:
Passo 7
Simplificando a integral:
Passo 8
Portanto, a segunda solução é:
No entanto, para garantir a independência linear, ajustamos a constante e obtemos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas: