Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
y'' - 4y = 0 Resp: y(x) = c1 e^(2x) + c2 e^(-2x).

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes dada por:
Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolvê-la, vamos utilizar métodos que envolvem encontrar soluções que satisfazem a equação de forma geral.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é:
No nosso caso, a equação é , então:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de :

Passo 4

Com as raízes e , que são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de e :

Resposta

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