Calcule o wronskiano das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o wronskiano dessas quatro funções: , , e . O wronskiano é uma ferramenta da matemática que a gente usa, principalmente em cálculo, para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para isso, vamos precisar montar uma matriz com as funções e suas derivadas, e então calcular o determinante dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como montar a matriz do wronskiano. Para quatro funções, a matriz será 4x4, onde:
  • A primeira linha contém as próprias funções.
  • A segunda linha tem as primeiras derivadas das funções.
  • A terceira linha tem as segundas derivadas.
  • A quarta linha tem as terceiras derivadas.
Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de cada função:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do wronskiano com esses valores:

Passo 5

Observando a matriz, vemos que a última linha é toda zero. Sabemos que se uma linha de uma matriz é completamente zero, o determinante dessa matriz é zero.

Passo 6

Portanto, o wronskiano das funções dadas é:

Resposta

O wronskiano das funções , , e é igual a zero.

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