Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o wronskiano dessas quatro funções: , , e . O wronskiano é uma ferramenta da matemática que a gente usa, principalmente em cálculo, para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para isso, vamos precisar montar uma matriz com as funções e suas derivadas, e então calcular o determinante dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar a matriz do wronskiano. Para quatro funções, a matriz será 4x4, onde:
A primeira linha contém as próprias funções.
A segunda linha tem as primeiras derivadas das funções.
A terceira linha tem as segundas derivadas.
A quarta linha tem as terceiras derivadas.
Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de cada função:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz do wronskiano com esses valores:
Passo 5
Observando a matriz, vemos que a última linha é toda zero. Sabemos que se uma linha de uma matriz é completamente zero, o determinante dessa matriz é zero.