Determine a solução geral das equações abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo que vamos precisar aqui é de equações diferenciais lineares de ordem superior, especialmente aquelas com coeficientes constantes. Vamos usar a técnica das equações características para encontrar a solução geral.
Passo 2
Para resolver essa equação, começamos encontrando a equação característica associada. Isso envolve substituir
por
, onde
é um número que vamos determinar. A equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
. Observamos que podemos fatorar:
Isso nos dá duas partes para igualar a zero:
-
⇒ (com multiplicidade 2) -
⇒ Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto,
com multiplicidade 2.
Passo 4
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz dupla nos dá termos com
e
. Como temos raízes
(duas vezes) e
(duas vezes), a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação é: