Determine a solução geral das equações abaixo:
y^(4) - 4 y^(3) + 4 y^(2) = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo que vamos precisar aqui é de equações diferenciais lineares de ordem superior, especialmente aquelas com coeficientes constantes. Vamos usar a técnica das equações características para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para resolver essa equação, começamos encontrando a equação característica associada. Isso envolve substituir por , onde é um número que vamos determinar. A equação característica fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Observamos que podemos fatorar:
Isso nos dá duas partes para igualar a zero:
  1. (com multiplicidade 2)
  2. ⇒ Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, com multiplicidade 2.

Passo 4

Com os valores de encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz dupla nos dá termos com e . Como temos raízes (duas vezes) e (duas vezes), a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação é:

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