Encontre uma solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos que envolvem encontrar a solução geral, que é a combinação da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para achar a solução dessa equação, usamos o polinômio característico. Substituímos
na equação homogênea, o que nos leva a:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiverem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é a soma de exponenciais, a gente assume uma solução particular na mesma forma:
Passo 6
Vamos derivar
para substituir na equação original:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Passo 7
Vamos simplificar os termos:
Para
:
Para
:
Então, temos:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes das exponenciais:
Para
:
Para
:
Passo 9
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.
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;
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