Encontre uma solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos que envolvem encontrar a solução geral, que é a combinação da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para achar a solução dessa equação, usamos o polinômio característico. Substituímos na equação homogênea, o que nos leva a:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é a soma de exponenciais, a gente assume uma solução particular na mesma forma:

Passo 6

Vamos derivar para substituir na equação original:
Substituindo , e na equação diferencial:

Passo 7

Vamos simplificar os termos:
Para :
Para :
Então, temos:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes das exponenciais:
Para :
Para :

Passo 9

Com os valores de e encontrados, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde e são constantes arbitrárias.

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