Determine a solução dos PVIs abaixo e o comportamento assintótico da solução.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Basicamente, a gente precisa achar a solução da equação diferencial de quarta ordem dada por:
Além disso, temos algumas condições iniciais:
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica ajuda a determinar a forma geral da solução. Para a equação:
Substituímos
por
, onde
é uma constante. Então temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar
da expressão:
Então, temos duas soluções:
-
→ com multiplicidade 2 -
→ Resolvendo a equação quadrática:
Então,
com multiplicidade 2.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes múltiplas, a solução geral é:
Simplificando
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 6
Agora, aplicamos
nas equações:
Simplificando cada equação:
Passo 7
Observamos que as equações 3 e 4 são proporcionais, então podemos usar a equação 3 para encontrar a relação entre
e
:
Agora, substituímos
nas outras equações.
Substituindo na equação 2:
Substituindo
e
na equação 1:
Passo 8
Agora, temos:
Para encontrar
, podemos retornar à equação 2:
Isso significa que
é um parâmetro livre, mas para termos uma solução única, assumimos
. Portanto:
Passo 9
Com todas as constantes definidas, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A solução do PVI é:
Quanto ao comportamento assintótico, como a solução é uma função linear, ela tende a
ou
conforme
aumenta, dependendo do coeficiente de
. Neste caso, com coeficiente positivo
,
cresce sem limites à medida que
tende para
.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.
O divergente de um campo vetorial
é um campo escalar definido por
. Se
é um campo vetorial, então calcule a integral tripla
, onde
é o sólido definido por
.
Encontre uma solução geral da equação diferencial dada.
Calcule o wronskiano das funções abaixo.