Determine a solução dos PVIs abaixo e o comportamento assintótico da solução.
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Basicamente, a gente precisa achar a solução da equação diferencial de quarta ordem dada por:
Além disso, temos algumas condições iniciais:
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica ajuda a determinar a forma geral da solução. Para a equação:
Substituímos por , onde é uma constante. Então temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar da expressão:
Então, temos duas soluções:
  1. com multiplicidade 2
  2. → Resolvendo a equação quadrática:
Então, com multiplicidade 2.

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes múltiplas, a solução geral é:
Simplificando :

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes .
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 6

Agora, aplicamos nas equações:
Simplificando cada equação:

Passo 7

Observamos que as equações 3 e 4 são proporcionais, então podemos usar a equação 3 para encontrar a relação entre e :
Agora, substituímos nas outras equações.
Substituindo na equação 2:
Substituindo e na equação 1:

Passo 8

Agora, temos:
Para encontrar , podemos retornar à equação 2:
Isso significa que é um parâmetro livre, mas para termos uma solução única, assumimos . Portanto:

Passo 9

Com todas as constantes definidas, substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução do PVI é:
Quanto ao comportamento assintótico, como a solução é uma função linear, ela tende a ou conforme aumenta, dependendo do coeficiente de . Neste caso, com coeficiente positivo , cresce sem limites à medida que tende para .

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