Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se as funções , e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada:
Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de ordem superior e ver se essas funções satisfazem a equação e são linearesmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial característica associada. A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar possíveis fatores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, fazemos a divisão polinomial para fatorar a equação:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Portanto, as raízes são e .

Passo 5

Agora, temos as raízes da equação característica:
Isso significa que as soluções gerais são:

Passo 6

Como encontramos três soluções linearmente independentes que correspondem às raízes distintas da equação característica, essas funções formam de fato um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.

Resposta

Sim, as funções , e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial .

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Determine a solução geral das equações abaixo:
Calcule o wronskiano das funções abaixo.
Encontre uma solução geral da equação diferencial dada.
Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.