Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se as funções
,
e
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada:
Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de ordem superior e ver se essas funções satisfazem a equação e são linearesmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial característica associada. A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar possíveis fatores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, fazemos a divisão polinomial para fatorar a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 5
Agora, temos as raízes da equação característica:
Isso significa que as soluções gerais são:
Passo 6
Como encontramos três soluções linearmente independentes que correspondem às raízes distintas da equação característica, essas funções formam de fato um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.
Resposta
Sim, as funções
,
e
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
.
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Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.