Seja
e considere o conjunto
Para
, este conjunto é o quadrado de vértices
e
. Para
, este conjunto é o octaedro de vértices
e
. Seja
o volume de
:
(a) Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a pergunta aqui. A gente tem um conjunto
que consiste em todos os pontos
em
onde a soma dos valores absolutos das coordenadas é menor ou igual a
. Por exemplo, para
, isso forma um quadrado com vértices em
e
. A questão quer que a gente mostre que o volume desse conjunto para qualquer
e qualquer
é igual a
vezes o volume quando
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de escala e como o volume muda quando a gente dimensiona as coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como o conjunto
muda quando a gente varia
. Se a gente aumentar
, o conjunto se “expande”, e se diminuir, ele “encolhe”. Isso é uma questão de escala. Vamos tentar relacionar
com
, que é o conjunto quando
.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir
para cada coordenada
. Isso significa que estamos “esticando” cada coordenada por um fator de
. Vamos ver como isso afeta a condição do conjunto:
Passo 4
Simplificando a desigualdade acima:
Isso mostra que, após a mudança de variável,
pertence a
.
Passo 5
Agora, precisamos relacionar os volumes. Quando a gente faz a substituição
, o elemento de volume
em
transforma assim:
Isso significa que o volume se multiplica por
devido à escala em cada uma das
dimensões.
Passo 6
Então, o volume de
pode ser escrito em termos de
: