Seja a>0 e considere o conjunto
Sn(a)=(x1, ldots, xn):|x1|+cdots+|xn| <= a
Para n=2, este conjunto é o quadrado de vértices ( pm a, 0) e (0, pm a). Para n=3, este conjunto é o octaedro de vértices ( pm a, 0,0),(0, pm a, 0) e (0,0, pm a). Seja Vn(a) o volume de Sn(a) :
Vn(a)=integralSn(a) ldots integrald d x1 cdots d xn
(a) Mostre que Vn(a)=a^n Vn(1).

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a pergunta aqui. A gente tem um conjunto que consiste em todos os pontos em onde a soma dos valores absolutos das coordenadas é menor ou igual a . Por exemplo, para , isso forma um quadrado com vértices em e . A questão quer que a gente mostre que o volume desse conjunto para qualquer e qualquer é igual a vezes o volume quando , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de escala e como o volume muda quando a gente dimensiona as coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como o conjunto muda quando a gente varia . Se a gente aumentar , o conjunto se “expande”, e se diminuir, ele “encolhe”. Isso é uma questão de escala. Vamos tentar relacionar com , que é o conjunto quando .

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir |x1| + |x2| + cdots + |xn| <= a Rightarrow |a y1| + |a y2| + cdots + |a yn| <= a para cada coordenada . Isso significa que estamos “esticando” cada coordenada por um fator de . Vamos ver como isso afeta a condição do conjunto:

Passo 4

Simplificando a desigualdade acima:
a(|y1| + |y2| + cdots + |yn|) <= a Rightarrow |y1| + |y2| + cdots + |yn| <= 1
Isso mostra que, após a mudança de variável, pertence a .

Passo 5

Agora, precisamos relacionar os volumes. Quando a gente faz a substituição dV = dx1 dx2 cdots dxn = a^n dy1 dy2 cdots dyn = a^n dV' , o elemento de volume em transforma assim:
Isso significa que o volume se multiplica por devido à escala em cada uma das dimensões.

Passo 6

Então, o volume de Vn(a) = integralSn(a) dV = integralSn(1) a^n dV' = a^n integralSn(1) dV' = a^n Vn(1) pode ser escrito em termos de :

Resposta

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