Calcule o wronskiano das soluções que compõe o conjunto fundamental de soluções de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o wronskiano de um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial . Isso envolve conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais e o wronskiano, que ajuda a verificar se as soluções são linearesmente independentes. Vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes formadas pelas soluções e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, o wronskiano para um sistema de três equações diferenciais é calculado como o determinante da matriz formada pelas soluções e suas primeiras duas derivadas. Ou seja:
Passo 3
Como temos a equação , podemos substituir as derivadas das soluções usando essa relação. A primeira derivada de cada solução é . Para a segunda derivada, derivamos novamente:
Passo 4
Agora, substituímos e na matriz do wronskiano:
Passo 5
Observamos que cada coluna da matriz é multiplicada por potências de . Isso significa que podemos fatorar de cada coluna:
Aqui, percebemos que a matriz tem colunas iguais após fatorar , o que faz com que o determinante seja zero.