Calcule o wronskiano W[X1, X2, X3] das soluções que compõe o conjunto fundamental de soluções de X' = A X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o wronskiano de um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial . Isso envolve conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais e o wronskiano, que ajuda a verificar se as soluções são linearesmente independentes. Vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes formadas pelas soluções e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, o wronskiano para um sistema de três equações diferenciais é calculado como o determinante da matriz formada pelas soluções e suas primeiras duas derivadas. Ou seja:

Passo 3

Como temos a equação , podemos substituir as derivadas das soluções usando essa relação. A primeira derivada de cada solução é . Para a segunda derivada, derivamos novamente:

Passo 4

Agora, substituímos e na matriz do wronskiano:

Passo 5

Observamos que cada coluna da matriz é multiplicada por potências de . Isso significa que podemos fatorar de cada coluna:
Aqui, percebemos que a matriz tem colunas iguais após fatorar , o que faz com que o determinante seja zero.

Resposta

O wronskiano é igual a zero.

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