Seja
e considere o conjunto
Para
, este conjunto é o quadrado de vértices
e
. Para
, este conjunto é o octaedro de vértices
e
. Seja
o volume de
:
(b) Para
, escreva a integral para
como uma integral iterada: uma integral unidimensional iterada com uma integral
-dimensional; deduza então que
Passo 1
Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
definido por todos os pontos
que satisfazem
. Para
,
é um quadrado com vértices em
e
. Para
,
é um octaedro com vértices em
,
e
. O objetivo é escrever a integral que representa o volume
de
como uma integral iterada, ou seja, uma integral de uma dimensão envolvendo outra integral de
dimensões, e então mostrar que
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de integração iterada e como aplicá-lo a conjuntos definidos por desigualdades envolvendo somas de valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. É o volume do conjunto
, ou seja, a “região” em
dimensões onde a soma das magnitudes das coordenadas é menor ou igual a 1. Para calcular esse volume, utilizamos a integração múltipla sobre todas as variáveis
que satisfazem a condição do conjunto.
Passo 3
A integral para
pode ser escrita como:
Para simplificar, vamos reescrever essa integral de forma iterada, ou seja, integrando uma variável de cada vez, começando por
.
Passo 4
Vamos isolar uma das variáveis, por exemplo,
. Para cada valor fixo de
, o conjunto de pontos
que satisfazem
forma um conjunto
. O volume desse conjunto em
dimensões é
.
Passo 5
Portanto, podemos expressar
como uma integral sobre
multiplicada pelo volume
:
Passo 6
Observamos que
pode ser relacionado a
. Analisando a forma do conjunto, percebemos que:
Isso porque ao escalar cada coordenada por
, o volume escala por
.
Passo 7
Substituindo essa relação na integral, temos:
Essa é a forma iterada que queríamos obter: uma integral unidimensional com a integral
multiplicada por uma função de
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral
. Pela simetria da função
, podemos simplificar a integral:
Passo 9
A integral
é uma integral padrão, cujo resultado é:
Portanto:
Passo 10
Substituindo esse resultado na expressão para
, obtemos:
Resposta
Concluímos que, para
, o volume
é dado por: