Seja a>0 e considere o conjunto
Sn(a)=(x1, ldots, xn):|x1|+cdots+|xn| <= a
Para n=2, este conjunto é o quadrado de vértices ( pm a, 0) e (0, pm a). Para n=3, este conjunto é o octaedro de vértices ( pm a, 0,0),(0, pm a, 0) e (0,0, pm a). Seja Vn(a) o volume de Sn(a) :
Vn(a)=integralSn(a) ldots integrald d x1 cdots d xn
(b) Para n >= 2, escreva a integral para Vn(1) como uma integral iterada: uma integral unidimensional iterada com uma integral (n-1)-dimensional; deduza então que
Vn(1)=Vn-1(1) integral-1^1(1-|x|)^n-1 d x=2n Vn-1(1)

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto definido por todos os pontos que satisfazem . Para , é um quadrado com vértices em e . Para , é um octaedro com vértices em , e . O objetivo é escrever a integral que representa o volume de como uma integral iterada, ou seja, uma integral de uma dimensão envolvendo outra integral de dimensões, e então mostrar que . Para isso, vamos precisar entender o conceito de integração iterada e como aplicá-lo a conjuntos definidos por desigualdades envolvendo somas de valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . É o volume do conjunto , ou seja, a “região” em dimensões onde a soma das magnitudes das coordenadas é menor ou igual a 1. Para calcular esse volume, utilizamos a integração múltipla sobre todas as variáveis que satisfazem a condição do conjunto.

Passo 3

A integral para Vn(1) = integralSn(1) dx1 cdots dxn pode ser escrita como:
Para simplificar, vamos reescrever essa integral de forma iterada, ou seja, integrando uma variável de cada vez, começando por .

Passo 4

Vamos isolar uma das variáveis, por exemplo, . Para cada valor fixo de , o conjunto de pontos que satisfazem forma um conjunto . O volume desse conjunto em dimensões é .

Passo 5

Portanto, podemos expressar Vn(1) = integral-1^1 Vn-1(1 - |xn|) , dxn como uma integral sobre multiplicada pelo volume :

Passo 6

Observamos que Vn-1(1 - |xn|) = (1 - |xn|)^n-1 Vn-1(1) pode ser relacionado a . Analisando a forma do conjunto, percebemos que:
Isso porque ao escalar cada coordenada por , o volume escala por .

Passo 7

Substituindo essa relação na integral, temos:
Vn(1) = Vn-1(1) integral-1^1 (1 - |xn|)^n-1 , dxn
Essa é a forma iterada que queríamos obter: uma integral unidimensional com a integral multiplicada por uma função de .

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral integral-1^1 (1 - |x|)^n-1 , dx = 2 integral0^1 (1 - x)^n-1 , dx . Pela simetria da função , podemos simplificar a integral:

Passo 9

A integral integral0^1 (1 - x)^n-1 , dx = 1n é uma integral padrão, cujo resultado é:
integral-1^1 (1 - |x|)^n-1 , dx = 2n
Portanto:

Passo 10

Substituindo esse resultado na expressão para Vn(1) = Vn-1(1) cdot 2n = 2n Vn-1(1) , obtemos:

Resposta

Concluímos que, para Vn(1) = 2n Vn-1(1) , o volume é dado por:

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