Considere a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y'' + 3y' - 6y = t e^t
Encontre a solução geral da equação (1) utilizando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é linear e não homogênea. A equação que temos é:
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução geral. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Então:
Portanto, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais, mas como não temos essas condições, deixamos assim.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Usamos o método dos coeficientes a determinar. Observamos que o lado direito é , então assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde A e B são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes de t e os termos constantes devem ser iguais:

Passo 9

Agora, temos os valores de A e B. Então, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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