Considere a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
Encontre a solução geral da equação (1) utilizando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é linear e não homogênea. A equação que temos é:
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução geral. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Então:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, mas como não temos essas condições, deixamos assim.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Usamos o método dos coeficientes a determinar. Observamos que o lado direito é
, então assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais:
Passo 9
Agora, temos os valores de
e
. Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: