Calcule x e y, sabendo que (ll3 & x 5 & 2) e (cc2 & -1 -5 & y) são matrizes inversas. R.: x=1 e y=3

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os valores de e nas matrizes dadas, sabendo que elas são inversas uma da outra. O conteúdo principal aqui envolve matrizes inversas. Para isso, precisamos entender que duas matrizes são inversas se, quando multiplicadas, resultam na matriz identidade. Vamos usar essa ideia para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz identidade I = 1 & 0 0 & 1 é uma matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Para matrizes 2x2, fica assim:

Passo 3

Agora, vamos denotar as matrizes dadas como A = 3 & x 5 & 2 , B = 2 & -1 -5 & y e :
Como e são inversas, isso significa que .

Passo 4

Vamos multiplicar as matrizes A times B = 3 times 2 + x times (-5) & 3 times (-1) + x times y 5 times 2 + 2 times (-5) & 5 times (-1) + 2 times y e A times B = 6 - 5x & -3 + xy 10 - 10 & -5 + 2y = 6 - 5x & -3 + xy 0 & -5 + 2y :
Simplificando cada elemento:

Passo 5

Como 6 - 5x = 1 -3 + xy = 0 0 = 0 -5 + 2y = 1 deve ser igual à matriz identidade , igualamos cada elemento correspondente:

Passo 6

Vamos resolver as equações:
  1. De 6 - 1 = 5x Rightarrow 5 = 5x Rightarrow x = 1 :
-5 + 2y = 1 Rightarrow 2y = 6 Rightarrow y = 3
  1. De :

Resposta

Os valores são e .

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