Calcule y.

Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular , onde é dado por:
Esse exercício envolve derivação de funções que têm variáveis no expoente e na base. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada derivação logarítmica. Ela é útil quando temos funções complicadas, especialmente aquelas onde a variável está no expoente ou na base, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação logarítmica. Quando temos uma função complicada, como , aplicar diretamente as regras de derivação pode ser difícil. Então, a derivação logarítmica ajuda a simplificar o processo tirando o logaritmo dos dois lados da equação. Isso torna mais fácil derivar cada parte da função.

Passo 3

Vamos começar aplicando o logaritmo natural ( ) dos dois lados da equação:
Usando as propriedades dos logaritmos, podemos separar a divisão em subtração:

Passo 4

Agora, vamos simplificar as express��es usando outra propriedade dos logaritmos: . Aplicando isso:

Passo 5

Com a equação simplificada, vamos agora derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usamos a derivada implícita no lado esquerdo:
Sabemos que a derivada de em relação a é , onde é a derivada de . Vamos derivar o lado direito:

Passo 6

Agora, queremos isolar . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por :

Passo 7

Lembre-se que . Vamos substituir esse valor na equação:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão colocando os termos em um único denominador:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Seja uma função.
Supondo que , calcule .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Calcule y.

Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Calcule y.

Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!