Calcule y.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa calcular
, onde
é dado por:
Esse exercício envolve derivação de funções que têm variáveis no expoente e na base. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada derivação logarítmica. Ela é útil quando temos funções complicadas, especialmente aquelas onde a variável está no expoente ou na base, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação logarítmica. Quando temos uma função complicada, como
, aplicar diretamente as regras de derivação pode ser difícil. Então, a derivação logarítmica ajuda a simplificar o processo tirando o logaritmo dos dois lados da equação. Isso torna mais fácil derivar cada parte da função.
Passo 3
Vamos começar aplicando o logaritmo natural (
) dos dois lados da equação:
Usando as propriedades dos logaritmos, podemos separar a divisão em subtração:
Passo 4
Agora, vamos simplificar as express��es usando outra propriedade dos logaritmos:
. Aplicando isso:
Passo 5
Com a equação simplificada, vamos agora derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a derivada implícita no lado esquerdo:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, onde
é a derivada de
. Vamos derivar o lado direito:
Passo 6
Agora, queremos isolar
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Passo 7
Lembre-se que
. Vamos substituir esse valor na equação:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão colocando os termos em um único denominador:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função.
Supondo que , calcule
.
Supondo que
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Calcule y.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Calcule y.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!