Seja uma função.
Supondo que , calcule .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função e sabemos que o limite de quando vai para mais infinito é . O conteúdo que vamos usar aqui é o de limites e comportamento assintótico de funções. Precisamos descobrir qual é o limite de quando tende a mais infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa . Isso quer dizer que, à medida que cresce sem limite, o valor de aumenta sem limite. Em outras palavras, está crescendo mais rápido do que .

Passo 3

Sabemos que é uma função polinomial de grau 2, o que domina o comportamento da função para grandes valores de . Como tende a , isso implica que deve crescer ainda mais rápido que . Portanto, deve estar crescendo ao menos na ordem de ou mais rápido.

Passo 4

Para encontrar , observamos que, se está crescendo mais rápido que , então tende a à medida que tende a . Isso se baseia na ideia de que funções que crescem sem limite superam qualquer polinômio de grau fixo.

Resposta

Portanto, .

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
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Calcule y.

Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Calcule y.

Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!