Seja
uma função.
Supondo que
, calcule
.
Supondo que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função
e sabemos que o limite de
quando
vai para mais infinito é
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de limites e comportamento assintótico de funções. Precisamos descobrir qual é o limite de
quando
tende a mais infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
cresce sem limite, o valor de
aumenta sem limite. Em outras palavras,
está crescendo mais rápido do que
.
Passo 3
Sabemos que
é uma função polinomial de grau 2, o que domina o comportamento da função para grandes valores de
. Como
tende a
, isso implica que
deve crescer ainda mais rápido que
. Portanto,
deve estar crescendo ao menos na ordem de
ou mais rápido.
Passo 4
Para encontrar
, observamos que, se
está crescendo mais rápido que
, então
tende a
à medida que
tende a
. Isso se baseia na ideia de que funções que crescem sem limite superam qualquer polinômio de grau fixo.
Resposta
Portanto,
.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
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Calcule y.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
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