Calcule y.

Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é calcular onde:
Esse exercício está no conteúdo de Derivadas, mais especificamente usando a derivação logarítmica. A dica sugere que a função no numerador não se encaixa nas formas comuns de funções exponenciais ou de potência, então a derivação logarítmica vai ser a nossa amiga para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivação logarítmica. Quando temos uma função complicada onde a variável está no expoente e na base, a derivação direta fica complicada. A derivação logarítmica facilita isso tirando o logaritmo dos dois lados da equação.
Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos usar as propriedades dos logaritmos para separar os termos:
Lembrando que e , então podemos simplificar mais:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é pelo uso da regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito termo a termo:
  1. Para , usamos a regra do produto:
  1. Para , aplicamos a regra da cadeia:
Então, combinando tudo:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos na expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Calcule y.

Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Seja uma função.
Supondo que , calcule .
Calcule y.

Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Encontre as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função .