Calcule y.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é calcular
onde:
Esse exercício está no conteúdo de Derivadas, mais especificamente usando a derivação logarítmica. A dica sugere que a função no numerador não se encaixa nas formas comuns de funções exponenciais ou de potência, então a derivação logarítmica vai ser a nossa amiga para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivação logarítmica. Quando temos uma função complicada onde a variável
está no expoente e na base, a derivação direta fica complicada. A derivação logarítmica facilita isso tirando o logaritmo dos dois lados da equação.
Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos usar as propriedades dos logaritmos para separar os termos:
Lembrando que
e
, então podemos simplificar mais:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
pelo uso da regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito termo a termo:
- Para
, usamos a regra do produto:
- Para
, aplicamos a regra da cadeia:
Então, combinando tudo:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos
na expressão:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule y.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Seja
uma função.
Supondo que , calcule
.
Supondo que
Calcule y.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Encontre as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função
.